(新课改省份专用)高考数学一轮复习第五章平面向量、复数第一节平面向量的概念及线性运算讲义

―→―→―→―→2―→―→2―→―→―→1―→2―→

(2)根据图形，由题意可得AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AD＋DC)＝AB＋(AD＋

3333→1―→1――→1―→2―→2―→

DC)＝AB＋?AD＋4AB?＝AB＋AD.

33?3?2

12―→―→―→

因为AE＝rAB＋sAD，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.

23[答案] (1)D (2)C [方法技巧]

1．平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．

(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．

考法二 平面向量共线定理的应用

求解向量共线问题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．

―→―→―→

(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线?OP＝(1－t)·OA＋tOB (O为平面内任一点，t∈R)．

―→―→

[例2] (1)(2019·南昌莲塘一中质检)已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( )

A．λμ＝1 C．λ－μ＝－1

B．λμ＝－1 D．λ＋μ＝2

―→―→―→

(2)(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．

―→―→―→―→

[解析] (1)∵AB与AC有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使AB＝tAC，即λa

5

??λ＝t，―→1

＋b＝ta＋μtb，则?消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB＝a＋b，此时存在实数

μ?μt＝1，?

1―→1―→―→―→―→―→

使AB＝AC，故AB和AC共线．∵AB与AC有公共点A，∴A，B，C三点共线．故选A. μμ

―→―→

(2)由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD. ―→―→―→

又AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2， ―→―→―→

所以BD＝CD－CB＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，

所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 又e1与e2不共线，

?3－k，?3＝λ9所以?解得k＝－.

4?2＝－λ2k＋1，?

9

[答案] (1)A (2)－ 4

[方法技巧] 平面向量共线定理的3个应用

证明向量共线 证明三点共线 求参数的值 对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线 ―→―→―→―→若存在实数λ，使AB＝λAC，AB与AC有公共点A，则A，B，C三点共线 利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 [集训冲关] ―→―→―→

1.[考法一]在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝( ) 1―→1―→A.AB＋AD 223―→1―→C.AB＋AD 44

3―→1―→

B.AB＋AD 421―→3―→D.AB＋AD 24

―→―→―→―→―→1―→―→1―→

解析：选B 因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)＝(AB

22→―→1―→3――→―→1―→1―→

＋AD＋DC)＝?AB＋AD＋2 AB ?＝AB＋AD，故选B.

2?2?4

―→

2.[考法一]在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO

6

＝λ―AB→＋μ―BC→

，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )

A．1 B.12 C.1D.23

3

解析：选D 由题意易得―AD→＝―AB→＋―BD→＝―AB→＋1―→

3BC，

则2―AO→＝―AB→＋1―→―→1―→1―→3BC，即AO＝2AB＋6BC.

故λ＋μ＝12＋12

6＝3

.

3.[考法二]设两个非零向量a与b不共线．

(1)若―AB→＝a＋b，―BC→＝2a＋8b，―CD→

＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

解：(1)证明：∵―AB→＝a＋b，―BC→＝2a＋8b，―CD→

＝3(a－b)， ∴―BD→＝―BC→＋―CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5―AB→， ∴―AB→，―BD→

共线，又它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线． (2)∵ka＋b与a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又a，b是两个不共线的非零向量，

∴???k－λ＝0，?∴k2－1?

λk－1＝0.

＝0.∴k＝±1.

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