(新课改省份专用)高考数学一轮复习第五章平面向量、复数第一节平面向量的概念及线性运算讲义

[基本知识]

名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 定义 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为0的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a与b不相等，则a与b一定不可能都是零向量．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题

1．如果对于任意的向量a，均有a∥b，则b为________． 答案：零向量

2．若e是a的单位向量，则a与e的方向________． a

解析：∵e＝，∴e与a的方向相同．

|a|答案：相同

3．△ABC中，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线―→

段所表示的向量中，与EF共线的向量有________个．

答案：7个

[典例感悟]

1．(2018·海淀期末)下列说法正确的是( ) A．方向相同的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度等于0

1

备注 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 记作0 非零向量a的单位向量为±a |a|0与任一向量平行或共线 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 相等向量 相反向量

―→―→―→―→

D．AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线

解析：选C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫―→―→―→

做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当AB∥CD时，AB所在―→

的直线与CD所在的直线可能重合，故D不正确．

2．(2019·辽宁实验中学月考)有下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；

―→―→

②若|AB|＝|DC|，则四边形ABCD是平行四边形； ③若m＝n，n＝k，则m＝k； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中，假命题的个数是( ) A．1 C．3

B．2 D．4

―→

解析：选C 对于①，|a|＝|b|，a，b的方向不确定，则a，b不一定相等，所以①错误；对于②，若|AB―→―→―→

|＝|DC|，则AB，DC的方向不一定相同，所以四边形ABCD不一定是平行四边形，②错误；对于③，若m＝n，n＝k，则m＝k，③正确；对于④，若a∥b，b∥c，则b＝0时，a∥c不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个，故选C.

―→―→

3．(2019·赣州崇义中学模拟)向量AB与CD共线是A，B，C，D四点共线的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

―→―→

解析：选B 由A，B，C，D四点共线，得向量AB与CD共线，反之不成立，可能AB∥CD，所以向―→―→

量AB与CD共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件，故选B.

[方法技巧]

关于平面向量的3个易错提醒

(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．

2

突破点二 平面向量的线性运算

[基本知识]

1．向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律： 加法 求两个向量和的运算 a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，求实数λ与向量a的积的运算 λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 2.平面向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 3．向量的中线公式及三角形的重心 (1)向量的中线公式：

―→1―→―→

若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝(OA＋OB)．

2(2)三角形的重心：

―→1―→―→―→―→

已知平面内不共线的三点A，B，C，PG＝(PA＋PB＋PC)?G是△ABC的重心．特别地，PA＋

3―→―→

PB＋PC＝0?P为△ABC的重心．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．( )

―→1―→―→

(2)△ABC中，D是BC的中点，则AD＝(AC＋AB)．( )

2答案：(1)× (2)√

二、填空题

3

a－b＝a＋(－b) λ(μ a)＝(λ μ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘

―→―→

1．在如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝________.

―→答案：FO

―→―→―→―→

2．化简：(AB－CD)－(AC－BD)＝________.

―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→

解析：(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.

答案：0

3．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为________． 1答案：－

2

[全析考法]

考法一 平面向量的线性运算

应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．

(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”； (2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”； (3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．

[例1] (1)(2019·湖北咸宁联考)如图，在△ABC中，点M为AC的中点，点N在―→―→―→―→―→

AB上，AN＝3NB，点P在MN上，MP＝2PN，那么AP＝( )

2―→1―→

A.AB－AC 361―→1―→C.AB－AC 36

1―→1―→

B.AB－AC 321―→1―→D.AB＋AC 26

―→1―→―→―→―→―→―→

(2)如图，在直角梯形ABCD中，DC＝AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，

4则2r＋3s＝( )

A．1 C．3

―→―→―→―→2―→―→2―→―→1―→2―→1―→1―→

[解析] (1)AP＝AM＋MP＝AM＋MN＝AM＋(AN－AM)＝AM＋AN＝AC＋AB.故选D.

333362

4

B．2 D．4