2019年全国统一高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅱ)

梦想不会辜负每一个努力的人 【思路分析】由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB?sinAcosB?0，由于sinA?0，化简

3?可得tanB??1，结合范围B?(0,?)，可求B的值为．

4【解析】：QbsinA?acosB?0，

?由正弦定理可得：sinAsinB?sinAcosB?0，

QA?(0,?)，sinA?0，

?可得：sinB?cosB?0，可得：tanB??1，

QB?(0,?)，

3?． ?B?43?故答案为：．

4【归纳与总结】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值

在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为

1．则该半正多面体共有

26

个面，其棱长

为 ．

【思路分析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8?1，个面，下层也有8?1个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45?2倍． 222x?x?1，22【解析】：该半正多面体共有8?8?8?2?26个面，设其棱长为x，则x?解得x?2?1． 故答案为：26，2?1．

【归纳与总结】本题考查了球内接多面体，属中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17．（12分）如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE?EC1．

梦想不会辜负每一个努力的人 （1）证明：BE?平面EB1C1；

（2）若AE?A1E，AB?3，求四棱锥E?BB1C1C的体积．

【思路分析】（1）由线面垂直的性质可得B1C1?BE，结合BE?EC1利用线面垂直的判定定理可证明BE?平面EB1C1；

（2）由条件可得AE?AB?3，然后得到E到平面BB1C1C的距离d?3，在求四棱锥的体积即可．

【解析】：（1）证明：由长方体ABCD?A1B1C1D1，可知 B1C1?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1， ?B1C1?BE，

QBE?EC1，B1C1IEC1?C1，

?BE?平面EB1C1；

（2）由（1）知?BEB1?90?，由题设可知Rt?ABE?Rt△A1B1E， ??AEB??A1EB1?45?，?AE?AB?3，AA1?2AE?6，

Q在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1//平面BB1C1C，E?AA1，AB?平面BB1C1C，

?E到平面BB1C1C的距离d?AB?3，

1?四棱锥E?BB1C1C的体积V??3?6?3?18．

3【归纳与总结】本题考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了四棱锥体积的求法，属中档

题．

18．（12分）已知{an}的各项均为正数的等比数列，a1?2，a3?2a2?16． （1）求{an}的通项公式；

（2）设bn?log2an，求数列{bn}的前n项和．

【思路分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；

（2）把（1）中求得的{an}的通项公式代入bn?log2an，得到bn，说明数列{bn}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解． 【解析】：（1）设等比数列的公比为q， 由a1?2，a3?2a2?16，得2q2?4q?16， 即q2?2q?8?0，解得q??2（舍)或q?4．

?an?a1qn?1?2?4n?1?22n?1；

梦想不会辜负每一个努力的人 （2）bn?log2an?log222n?1?2n?1， Qb1?1，bn?1?bn?2(n?1)?1?2n?1?2，

?数列{bn}是以1为首项，以2为公差的等差数列，

n(n?1)?2?n2． 2【归纳与总结】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查对数的运算性质，

则数列{bn}的前n项和Tn?n?1?是基础题．

19．（12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表． y的分组 企业数 [?0.20，0) [0，0.20) [0.20，0.40) [0.40，0.60) [0.60，0.80) 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01) 附：74?8.602．

【思路分析】（1）根据频数分布表计算即可；

（2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可．

【解析】：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为： 14?7?0.21?21%， 1002?0.02?2%， 100用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产

产值负增长的企业频率为：

值负增长的企业比例为2%； （y?2）企业产值增长率的平均数

1?0.1?2?0.1?24?0.3?53?0.5?14?0.7?7?0.3?30%， 100152产值增长率的方程s?ni(yi?y)2 ?100i?11?[(?0.4)2?2?(?0.2)2?24?02?53?0.22?14?0.42?7] 100?0.0296，

?产值增长率的标准差s?0.0296?0.02?74?0.17?17%，

?这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．

【归纳与总结】本题考查了样本数据的平均值和方程的求法，考查运算求解能力，属基础题．

x2y220．（12分）已知F1，F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点，P为C上的点，O为

ab坐标原点．

（1）若?POF2为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P，使得PF1?PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

梦想不会辜负每一个努力的人 【思路分析】（1）根据?POF2为等边三角形，可得在△F1PF2中，?F1PF2?90?，在根据直角形和椭圆定义可得；

a22（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得b?4，根据x?2(c?b2)，所以c2…b2，

c42， 从而a2?b2?c2…2b2?32，故a…2【解析】：（1）连接PF1，由?POF2为等边三角形可知在△F1PF2中， ?F1PF2?90?，|PF2|?c，|PF1|?3c，于是2a?|PF1|?|PF2|?(3?1)c，

c故曲线C的离心率e??3?1．

a1（2）由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在当且仅当：|y|g2c?16，

2x2y2yyg??1，2?2?1，

abx?cx?c即c|y|?16，①

x2?y2?c2，②

x2y2??1，③ a2b2b41622由②③及a?b?c得y?2，又由①知y?2，故b?4，

cc2a42， 由②③得x2?2(c2?b2)，所以c2…b2，从而a2?b2?c2…2b2?32，故a…c42时，存在满足条件的点P． 当b?4，a…2222所以b?4，a的取值范围为[42，??)．

【归纳与总结】本题考查了双曲线的性质，属中档题． 21．（12分）已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1．证明： （1）f(x)存在唯一的极值点；

（2）f(x)?0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

1，从而f?(x)单调递增，x进而存在唯一的x0?(1,2)，使得f?(x0)?0．由此能证明f(x)存在唯一的极值点．

【思路分析】（1）推导出f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?lnx?（2）由f(x0)?f（1）??2，f(e2)?e2?3?0，得到f(x)?0在(x0，??)内存在唯一的

11根x?a，由a?x0?1，得?1?x0，从而是f(x)?0在(0,x0)的唯一根，由此能证明

aaf(x)?0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【解答】证明：（1）Q函数f(x)?(x?1)lnx?x?1． ?f(x)的定义域为(0,??)，

x?11f?(x)??lnx?1?lnx?，

xx1Qy?lnx单调递增，y?单调递减，?f?(x)单调递增，

x1ln4?1又f?（1）??1?0，f?（2）?ln2???0，

22?存在唯一的x0?(1,2)，使得f?(x0)?0．