北师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(提高)

举一反三：

【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）

【答案】

解：连接OB、OC；

∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC=

=60°，

∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OB=8m，

∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48m．

过O作OG⊥BC于G，

∵△OBC是等边三角形，OB=8m， ∴∠OBC=60°， ∴OG=OB?sin∠OBC=8×

=4m，

∴S△OBC=BC?OG=×8×4=16， ∴S六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．

类型四、与圆有关的综合应用

5．（2014?孝感模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC的延长线于点E、F． （1）求证：EF为⊙O的切线；

（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．

【思路点拨】

（1）连接OD，只要证明OD⊥EF即可．

（2）连接BD，CD，根据相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值． 【答案与解析】

（1）证明：连接OD； ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°； ∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠ACB=90°， ∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA； 又∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠DAC， ∴∠ODA=∠DAC， ∴OD∥AF，

∴∠ODE=∠AFD=90°， 即OD⊥EF； 又∵EF过点D， ∴EF是⊙O的切线．

（2）解：连接BD，CD； ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠AFD； ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠DAC， ∴BD=CD； 设BD=CD=a；

又∵EF是⊙O的切线，

∴∠CDF=∠DAC，

∴∠CDF=∠OAD=∠DAC， ∴△CDF∽△ABD∽△ADF， ∴

=

，

=

； =，

∵sin∠ABC=

∴设AC=3，AB=4， ∴

=

，则a2=4，

∴在Rt△CDF中，由勾股定理得 DF2=CD2﹣CF2=4﹣1； 又∵

=

，

∴4﹣1=1×（1+3）， ∴=2，

∴AB=4=8，AC=3=6； ∵EF∥BC，

∴△ABC∽△AEF， ∴

=

，

=，AE=

，

=

．

=

．

∴在Rt△AEF中，EF=

综上所述，⊙O的半径及EF的长分别是4和

【总结升华】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用． 举一反三：

【变式】（2015?宁波模拟）已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆． （1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．

【答案】 解：（1）连接OD， ∵BA=BD，BO⊥AD， ∴∠ABO=∠DBO， 在△ABO和△DBO中

，

∴△ABO≌△DBO（SAS），

∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°， ∴BD⊥OD，

∴BC是⊙O的切线； （2）∵在RT△ODC中，CD=

==6，

∴OC=10， ∴AC=18

在RT△ABC中，AB=AC?tan∠C=18×=24， ∵∠ADB=∠DAB=∠AOB， ∴sin∠ADB=sin∠AOB=

=

，

6． （1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点， 求证：PA=PB+PC；

（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点， 求证：；

（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC