北师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(提高)

【答案与解析】

解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r， 如图，连接OE、OA， 则OA-OE=AE，即R-r=（

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）=（）=4，

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S圆环=S大圆-S小圆=πR-πr，（2分）

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=π（R-r），（3分） ∵R-r=（）=4， ∴S=4π（cm）．

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【总结升华】

此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，找出两圆半径之间的关系，根据圆的面积公式列出关系式即可．

3．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，射线PN与⊙O相切于点Q．A,BOP?10cm，

两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts． （1）求PQ的长；

（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

【思路点拨】

(1)连OQ,则OQ⊥PN,由勾股定理可以求得PQ的长；(2)由直线AB与⊙O相切,先找出结论成立的条件,当BQ等于⊙O的半径时,直线AB与⊙O相切,再根据直线AB与⊙O相切时的不同位置,分类求出t的值. 【答案与解析】

解 （1）连接OQ．

∵PN与⊙O相切于点Q，∴OQ⊥PN, 即?OQP?90．

oQOP?10，OQ?6，∴PQ?102?62?8(cm)

（2）过点O作OC?AB，垂足为C．

Q点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，

∴PA?5t，PB?4t．QPO?10，PQ?8，∴

PAPB? POPQQ?P??P，∴△PAB∽△POQ, ∴∠PBA=∠PQO=900

Q?BQO??CBQ??OCB?90o，

∴四边形OCBQ为矩形．∴BQ=OC

∵⊙O的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．

①当AB运动到如图1所示的位置时．

BQ?PQ?PB?8?4t．

由BQ?6，得8?4t?6．解得t?0.5(s)． ②当AB运动到如图2所示的位置时．

BQ?PB?PQ?4t?8．

由BQ?6，得4t?8?6．解得t?3.5(s)． 所以，当t为0.5s或3.5s时,直线AB与⊙O相切． 【总结升华】

本例是一道双动点几何动态题.是近年中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动. 举一反三：

【变式】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE． （1）求证：BE与⊙O相切；

（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin?ABC?2，求BF的长． 3

【答案】

（1）证明：连结OC.

QEC与⊙O相切，C为切点.

o??ECO?90.QOB?OC， ??OCB??OBC.

QOD?DC.?DB?DC. 直线OE是线段BC的垂直平分线.

?EB?EC.??ECB??EBC.

??ECO??EBO.o??EBO?90. QAB是⊙O的直径. ?BE与⊙O相切.

（2）解：过点D作DM?AB于点M，则DM∥FB. 在Rt?ODB中，

2Q?ODB?90o，OB?9， sin?ABC?， 3

?OD?OB?sin?ABC?6. 由勾股定理得BD?OB2?OD2?35. 在Rt?DMB中，同理得

DM?BD?sin?ABC?25.BM?BD?DM?5.22

QO是AB的中点，

?AB?18.

?AM?AB?BM?13. QDM∥FB， ∴△AMD∽△ABF MDAM?.BFAB MD?AB365?BF??AM13?

类型三、与圆有关的计算

4．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆

O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．

（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值； （2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．

【思路点拨】

（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；

（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．

【答案与解析】

解：（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形． 所以r：a=1：1；

连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形， 所以r：b=AO：BO=sin60°=：2；

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（2）T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2=（a：b）=3：4．

【总结升华】

计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．