北师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(提高)

3.圆与圆的位置关系

在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．

要点诠释：

①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．

③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动理解． ④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．

考点四、正多边形和圆 1.正多边形的有关概念

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于

360°． n要点诠释：

通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．

2.正多边形的性质

任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．

3.正多边形的有关计算

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．

正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算．

an?360°180°180°，an?2Rgsin，rn?Rgcos， nnn211?a?R2?rn2??n?，Pn?ngan，Sn?angrngn?Pngrn．

22?2?

考点五、圆中的计算问题 1.弧长公式：l?n?R，其中l为n°的圆心角所对弧的长，R为圆的半径． 180n?R2112.扇形面积公式：S扇?，其中S扇?lR．圆心角所对的扇形的面积，另外S扇?lR．

360223.圆锥的侧面积和全面积：

圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和． 要点诠释：

（1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．

（2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．

考点六、四点共圆 1.四点共圆的定义

四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.

2.证明四点共圆一些基本方法：

1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.

2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆． （若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）

3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．

4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆． 即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.

考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）

1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理） 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定 ⊙O中，AB、CD为弦，交PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD， 理 于P. 证：△APC∽△DPB.

相交弦定理的推论

⊙O中，AB为直径，CD⊥ABPC＝PA·PB. 于P.

2

用相交弦定理.

切割线定理

⊙O中，PT切⊙O于T，PT＝PA·PB 割线PB交⊙O于A

2

连结TA、TB， 证：△PTB∽△PAT

切割线定理推论

PB、PD为⊙O的两条割线，PA·PB＝PC·PD 交⊙O于A、C

过P作PT切⊙O于T， 用两次切割线定理

【典型例题】

类型一、圆的有关概念及性质

1． BC为eO的弦，∠BOC=130°，△ABC为eO的内接三角形，求∠A的度数.

【思路点拨】依题意知O为△ABC的外心，由外心O的位置可知应分两种情况进行解答. 【答案与解析】

应分两种情况，当O在△ABC内部时，?A?

11?BOC??130??65?; 22

?的度数为 当O在△ABC外部时，由∠BOC=130°，得劣弧BC的度数为130?，则BAC360?－130?＝230?,故∠A=115°.

综合以上得∠A=65°或∠A=115°. 【总结升华】

转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决. 举一反三：

【变式】如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（ ）

A O

B A．50 B．80或50 C．130 D．50 或130 【答案】

解：当点C在优弧上时，∠ACB＝

oooooo11∠AOB＝×100°＝50°， 2211当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°－∠AOB）＝×（360°－100°）＝130°．

22故选D．

类型二、与圆有关的位置关系

2．如图，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）

【思路点拨】

设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可．