北京市西城区高三二模数学理科含答案

由俯视图和左视图可得：

D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,1,0),C(0,4,0),M(0,0,3),P(0,0,4)．

所以 BC?(?3,3,0)，DB?(3,1,0)．

因为 BC?DB??3?3?3?1?0?0?0，所以BC?BD． ………………2分 又因为 PD?平面ABCD，所以 BC?PD， ………………3分 所以 BC?平面PBD． ………………4分

??n?PC?0,（Ⅱ）证明：设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则有 ?

??n?BC?0.因为 BC?(?3,3,0)，PC?(0,4,?4)，

??4y?4z?0,所以 ? 取y?1，得n?(3,1,1)． ………………6分

???3x?3y?0.因为 AM?(?3,0,3)， 所以 AM?n?3?(?3)?1?0?1?3?0． ………………8分

因为 AM?平面PBC，

所以 直线AM∥平面PBC． ………………9分 （Ⅲ）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为

3．证明如下：………10分 4设 N(0,t,0)，其中0?t?4． ………………11分 所以 AM?(?3,0,3)，BN?(?3,t?1,0)． 要使AM与BN所成角的余弦值为

3|AM?BN|3，则有 ， ………………12分 ?44|AM|?|BN|所以

|3|23?3?(t?1)2?3，解得t?0或2，均适合0?t?4． ………………13分 4故点N位于D点处，此时CN?4；或CD中点处，此时CN?2，有AM与BN所成角的余弦值为

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3． ………………14分 418．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，M是线段AP的中点，

因为A(?1,0)，P(95,435)，

所以 点M的坐标为(2,2355)．………………2分

由点M在椭圆C上，

所以

425?1225m?1， 解得 m?47． （Ⅱ）解：设M(x,y2y2000)，则 x0?m?1，且?1?x0?1． 因为 M是线段AP的中点，

所以 P(2x0?1,2y0)． 因为 OP?OM，

所以 x20(2x0?1)?2y0?0．

② 2由 ①，② 消去y2x0?x00，整理得 m?2x22． 0?所以 m?1?12(x6?132?4， 0?2)?x?80?2当且仅当 x0??2?3时，上式等号成立． 所以 m的取值范围是(0,12?34]．

19.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：f(x)的定义域为R， 且 f?(x)?2x2?4x?2?a．当a?2时，f(1)??13，f?(1)??2， 第 10 页 共 13 页

………………4分 ………………5分① ………………6分

………………7分………………8分

………………10分 ………………12分 ………………13分 ………………2分

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y?1??2(x?1)， 3即 6x?3y?5?0． ………………4分 （Ⅱ）解：方程f?(x)?0的判别式为??8a．

（ⅰ）当a?0时，f?(x)?0，所以f(x)在区间(2,3)上单调递增，所以f(x)在区间[2,3] 上的最小值是f(2)?7?2a；最大值是f(3)?7?3a． ………………6分 32a2a，或x2?1?． 22（ⅱ）当a?0时，令f?(x)?0，得 x1?1?f(x)和f?(x)的情况如下：

x (??,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,??) f?(x) f(x) ? ↗ 0 ? ↘ 0 ? ↗ 故f(x)的单调增区间为(??,1?2a2a2a2a单调减区间为(1? (1?,??)；)，,1?)．

2222………………8分

① 当0?a?2时，x2?2，此时f(x)在区间(2,3)上单调递增，所以f(x)在区间[2,3] 上的最小值是f(2)?7?2a；最大值是f(3)?7?3a． ………………10分 3② 当2?a?8时，x1?2?x2?3，此时f(x)在区间(2,x2)上单调递减，在区间(x2,3)上单调递增，

所以f(x)在区间[2,3]上的最小值是 f(x2)? 因为 f(3)?f(2)? 所以 当2?a?5a2a?a?． ………………11分 3314?a， 31414?a?8时，时，f(x)在区间[2,3]上的最大值是f(3)?7?3a；当

337f(x)在区间[2,3]上的最大值是f(2)??2a． ………………12分

3③ 当a?8时，x1?2?3?x2，此时f(x)在区间(2,3)上单调递减，

所以f(x)在区间[2,3]上的最小值是f(3)?7?3a；最大值是f(2)?7?2a．………………14分 3第 11 页 共 13 页

综上，

当a?2时，f(x)在区间[2,3]上的最小值是

7?2a，最大值是7?3a； 3当2?a?5a2a14时，f(x)在区间[2,3]上的最小值是?a?，最大值是7?3a；

333当

5a2a147，最大值是?2a； ?a?8时，f(x)在区间[2,3]上的最小值是?a?3333当a?8时，f(x)在区间[2,3]上的最小值是7?3a，最大值是

20.（本小题满分13分）

7?2a． 3（Ⅰ）解：当n?6时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,?2,1,4,?3； ………………2分

排列0,?1,2,?3,4,3的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分 （Ⅱ）证明：设a1,a2,,an的生成列是b1,b2,?,a2?,,an与a1?,a2?,,bn；a1?的生成列是与b1?,b2?,,an?． ,bn从右往左数，设排列a1,a2,?第一个不同的项为ak与ak?，即：an?an?，,an??1，an?1?an??1，ak?ak?． ，ak?1?ak??1，下面证明：bk?bk?． ………………5分 ，bk?1?bk,an中前i?1项中比ai小的项的个数减

?，bn?1?bn??1，显然 bn?bn由满意指数的定义知，ai的满意指数为排列a1,a2,去比ai大的项的个数．

由于排列a1,a2,,an的前k项各不相同，设这k项中有l项比ak小，则有k?l?1项比ak大，

从而bk?l?(k?l?1)?2l?k?1．

?,a2?,同理，设排列a1因为 a1,a2,?中有l?项比ak?小，则有k?l??1项比ak?大，从而bk??2l??k?1．,an

?是k个不同数的两个不同排列，且ak?ak?， ,ak?,a2?,,ak与a1?． 所以 l?l?， 从而 bk?bk所以排列a1,a2,?,a2?,,an和a1?的生成列也不同． ………………8分 ,an,bn，且ak为a1,a2,,an中从左至右第一个

（Ⅲ）证明：设排列a1,a2,,an的生成列为b1,b2,满意指数为负数的项，所以 b1?0,b2?0,进行一次变换?后，排列a1,a2,,bk?1?0,bk??1． ………………9分

ak?1,ak?1,,an，设该排列的生成

,an变换为ak,a1,a2,第 12 页 共 13 页

?,b2?,列为b1?． ,bn?)?(b1?b2??bn?bn)

?g(ak?ak?1)]??b2??所以 (b1?[g(a1?ak)?g(a2?ak)??g(ak?1?ak)]?[g(ak?a1)?g(ak?a2)? ??2[g(a?gk(a?k?a1)?g(ka?2a)??k1a )]??2bk?2． ………………11分

因此，经过一次变换?后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2． 因为ai的满意指数bi?i?1，其中i?1,2,3,,n，

所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1?2?3?即整个排列的各项满意指数之和为有限数，

?(n?1)?(n?1)n， 2所以经过有限次变换?后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ………………13分

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