北京市西城区高三二模数学理科含答案

18．（本小题满分13分）

y2?1(0?m?1)的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，如图，椭圆C:x?m2点P与点A关于点M对称． （Ⅰ）若点P的坐标为(,943)，求m的值；

55（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP?OM，求m的取值范围． 19．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?23x?2x2?(2?a)x?1，其中a?R． 3（Ⅰ）若a?2，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值． 20．（本小题满分13分）

已知集合Sn?{(x1,x2,,xn)|x1,x2,,xn是正整数1,2,3,,n的一个排列}(n?2)，函数

?1,x?0, g(x)???1,x?0.?bi?g(ai?a1)?g(ai?a2)?对于(a1,a2,…an)?Sn，定义：b1?0，称bi为ai的满意指数．排列b1,b2,排列b1,b2,?g(ai?ai?1),i?{2,3,,n}，,an为

,bn为排列a1,a2,,an的生成列；排列a1,a2,,bn的母列．

（Ⅰ）当n?6时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,?1,2,?3,4,3的母列； （Ⅱ）证明：若a1,a2,?,a2?,,an和a1?为Sn中两个不同排列，则它们的生成列也不同； ,an,an从左至右第一个满意指

（Ⅲ）对于Sn中的排列a1,a2,,an，定义变换?：将排列a1,a2,数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换

?将排列a1,a2,

,an变换为各项满意指数均为非负数的排列．

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北京市西城区2013年高三二模试卷

高三数学（理科）参考答案及评分标准

2013.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．C； 7．B； 8．B．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．?； 10．80； 11．3，33； 212．

n124； 13．2n?1，； 14．(1,]．

4(n?1)53注：11、13题第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1?cos?，x2?cos(??)． ………………2分 因为 ???,)，cos??2?3??621， 322． ………………3分 3 所以 sin??1?cos?? 所以 x2?cos(???131?26)?cos??sin??． ………………5分 3226（Ⅱ）解：依题意得 y1?sin?，y2?sin(?? 所以 S1??)． 3111x1y1?cos??sin??sin2?， ………………7分 22411??12?S2?|x2|y2?[?cos(??)]?sin(??)??sin(2??)． ……………9分

2233432?)， 依题意得 sin2???2sin(2??3整理得 cos2??0． ………………11分

??????， 所以 ?2???， 623??所以 2??， 即 ??． ………………13分

24因为

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16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A， ………………1分

2A31则 P(A)?3?，

A44故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为

1． ………………4分 4（Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分

1A21， P(X?0)?， P(X?5)?2?24A4612C?A1A2112P(X?10)?2?3?， P(X?15)?232?，

A4A46A46A31． ………………10分 P(X?20)?3?4A44所以，随机变量X的分布列为:

X P 0 1 45 1 610 1 615 1 620 1 4 ………………11分

11111EX?0??5??10??15??20??10． ………………13分

46664

17．（本小题满分14分） 【方法一】

（Ⅰ）证明：由俯视图可得，BD?BC?CD，

所以 BC?BD． ………………1分 又因为 PD?平面ABCD，

所以 BC?PD， ………………3分

所以 BC?平面PBD． ………………4分 （Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ:PC?1:4，连结MQ，BQ． ………………5分

由左视图知 PM:PD?1:4，所以 MQ∥CD，MQ?2221CD． ………………6分 4第 7 页 共 13 页

在△BCD中，易得?CDB?60，所以 ?ADB?30．又 BD?2， 所以AB?1，

??AD?3．

又因为 AB∥CD，AB?1CD，所以 AB∥MQ，AB?MQ． 4所以四边形ABQM为平行四边形，所以 AM∥BQ． ………………8分 因为 AM?平面PBC，BQ?平面PBC，

所以 直线AM∥平面PBC． ………………9分 （Ⅲ）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为

3．证明如下：………10分 4因为 PD?平面ABCD，DA?DC，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz． 所以 D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,1,0),C(0,4,0),M(0,0,3)．

设 N(0,t,0)，其中0?t?4． ………………11分 所以AM?(?3,0,3)，BN?(?3,t?1,0)． 要使AM与BN所成角的余弦值为

3|AM?BN|3，则有 ， ………………12分 ?4|AM||BN|4所以

|3|23?3?(t?1)2?3，解得 t?0或2，均适合0?t?4． ………………13分 4故点N位于D点处，此时CN?4；或CD中点处，此时CN?2，有AM与BN所成角的余弦值为

3． ………………14分 4 【方法二】

（Ⅰ）证明：因为PD?平面ABCD，DA?DC，建立如图所示 的空间直角坐标系D?xyz．

在△BCD中，易得?CDB?60，所以 ?ADB?30， 因为 BD?2， 所以AB?1， AD?3．

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