2017年江苏省高考数学真题试卷

离d?|2s2?42s?8|12?(?2)22(s?2)2?445?. ，当s?2时，dmin?55因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值D．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）

2222

已知a,b,c,d为实数，且a+b=4,c+d=16,证明ac+bd?8.

45. 5【证明】由柯西不等式可得：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2)，因为a2?b2?4,c2?d2?16,所以，因此ac?bd?8. (ac?bd)2?64【必做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=3 ，∠BAD=120o（1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.

（HWL88）

第22题图【解】

【解】在平面ABCD内，过点A作AE?AD，交BC于点E. 因为AA1?平面ABCD， 所以AA1?AE，AA1?AD.

如图，以{AE,AD,AA1}为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz. 因为AB=AD=2，AA1=3，?BAD?120?.

则A(0,0,0),B(3,?1,0),D(0,2,0),E(3,0,0),A,3). 1(0,0,3),C1(3,1(1) AB,?3),AC1?(3,1,3)， 1?(3,?1???????????????????????????????????????A1B?AC1(3,?1,?3)?(3,1,3)1????. 则cosA1B,AC1?????????77|A1B||AC1|??因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为?1. 7(2)平面A1DA的一个法向量为AE?(3,0,0). 设m?(x,y,z)为平面BA1D的一个法向量，

????????????又A,?3),BD?(?3,3,0)， 1B?(3,?1??????m?A1B?0,??3x?y?3z?0, 则?即???????m?BD?0,???3x?3y?0.不妨取x=3，则y?3,z?2，

所以m?(3,3,2)为平面BA1D的一个法向量，

????????AE?m(3,0,0)?(3,3,2)3???, 从而cosAE,m????4|AE||m|3?4??设二面角B-A1D-A的大小为?，则|cos?|?因为??[0,π]，所以sin??1?cos2??3. 47. 4因此二面角B-A1D-A的正弦值为

7. 4（HWL92）

第22题图

23. （本小题满分10）

已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n? N* ,n… 2）,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.

1 2 3 … m+n

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;

（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明 E（x）＜

n

m?nn?1????【解】 (1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：

?1Cnnm?n?1. p ? n?Cm?nm?n(2) 随机变量 x 的概率分布为:

x P 1 n?1Cnn?1 nCm?n1 n?1?1Cnn nCm?n1 n?2?1Cnn?1 nCm?n… … 1 k?1Cnk?1 nCm?n… … 1 m?n?1Cnn?m?1 nCm?n随机变量 x 的期望为： ?11Cn1k?1E(x)???n?nCm?nk?nkCm?nm?nm?n1(k?1)!?. ?k(n?1)!(k?n)!k?nm?n所以E(x)?1Cnm?nm?n(k?2)!1??n(n?1)Cmk?n(n?1)!(k?n)!?n(k?2)! ?(n?2)!(k?n)!k?n?1n?2n?2n?2(1?C?C???Cn?1nm?n?2) n(n?1)Cm?n1?1n?2n?2?2(Cn???Cnn?1?Cn?1?Cnm?n?2) n(n?1)Cm?n1n?1n?2n?2(C?C???Cnnm?n?2) n(n?1)Cm?n1?1n?2(Cnm?n?2?Cm?n?2) n(n?1)Cm?n??????1Cnnm?n?1??， (n?1)Cn(m?n)(n?1)m?n所以E(x)?n.

(m?n)(n?1)