2017-2018学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判

2.3.2 平面与平面垂直的判定

1．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点)

2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点)

3．熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点)

[基础·初探]

教材整理1 二面角

阅读教材P67“练习”以下至P68“观察”以上的内容，完成下列问题． 1．定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图2-3-13)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．

记法：α-AB-β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P-AB-Q；当棱记为l时，可记作α-l-β或P-l-Q.

图2-3-13

2．二面角的平面角

(1)定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，如图2-3-14所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．

(2)直二面角：平面角是直角的二面角．

图2-3-14

如图2-3-15，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小等于________．

图2-3-15

【解析】 ∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，故∠BAC为二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°.∴二面角B-PA-C的大小为90°.

【答案】 90°

教材整理2 平面与平面垂直的判定

阅读教材P68“观察”以下至P69“例3”以上的内容，完成下列问题． 1．平面与平面垂直

(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)画法：

图2-3-16

记作：α⊥β. 2．判定定理

文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 图形语言 符号语言

l⊥β???l?α???α⊥β 对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( ) A．m⊥n，m∥α，n∥β

B．m⊥n，α∩β＝m，n?α

2

C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β

【解析】 因为m∥n，n⊥β，则m⊥β， 又m?α，故α⊥β，所以C正确． 【答案】 C

[小组合作型]

二面角 如图2-3-17，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值．

图2-3-17

【精彩点拨】 解答本题的关键是作出二面角的平面角，利用△BA1C1与△B1A1C1均为等腰三角形，根据二面角的平面角定义可作出平面角求解．

【自主解答】 取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为

A1C1的中点，

所以BO⊥A1C1，

所以∠BOB1是二面角B-A1C1-B1的平面角．

因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1. 设正方体的棱长为a， 则OB1＝

2

a， 2

在Rt△BB1O中，tan ∠BOB1＝

BB1a＝＝2， OB12

a2

所以二面角B-A1C1-B1的正切值为2.

3

1．求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三

角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．

2．为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．

[再练一题]

1．在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，求二面角V-AB-C的大小.

【解】 如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB，取AB中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB.

∵VH∩VO＝V，∴AB⊥平面VHO，∴AB⊥OH， ∴∠VHO为二面角V-AB-C的平面角．

?2?22222

易求VH＝VA－AH＝(5)－??＝4，

?2?

1

∴VH＝2.而OH＝AB＝1，∴∠VHO＝60°.

2故二面角V-AB-C的大小是60°.

是EA的中点，求证：

平面与平面垂直的判定 如图2-3-18，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M

图2-3-18

(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA.

【精彩点拨】 (1)要证DE＝DA，只需证明Rt△EFD≌Rt△DBA；(2)注意M为EA的中点，

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