（优辅资源）版广东省广州市荔湾区高一下学期期末考试数学试题Word版含答案

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qSn?a1q?a1q2??a1qn?1?a1qn …………………………………6分

n 所以(1?q)Sn?a1?a1q …………………………………8分

a1(1?qn) 当q?1时，有Sn?． …………………………………10分

1?q证法2：（叠加法）因为{an}是公比为q的等比数列，

所以a2?a1q，a3?a2q，L,所以a2?a1?(q?1)a1，

an?1?anq …………………………………2分

a3?a2?(q?1)a2，…，an?1?an?(q?1)an，…………………………………6分

相加得

an?1?a1?(q?1)Sn. …………………………………8分

a1?an?1a1(1?qn)?所以当q≠1时，Sn?. …………………………………10分

1?q1?q证法3：（拆项法）当q≠1时，

a1?a1?aaq1?q?1?1， …………………………………2分 1?q1?q1?q1?qa1qa1q2a2?a1q???，……，

1?q1?q1?q1?qa1qn?1a1qnan?an?1q???， …………………………………8分

1?q1?q1?q以上n个式子相加得

a1a1qna1(1?qn)Sn???. …………………………………10分

1?q1?q1?q

18．（本小题满分12分）

已知平面向量a，b满足|a|?1，|b|?2．

（1）若a与b的夹角??120，求|a?b|的值； （2）若(ka?b)?(ka?b)，求实数k的值. 题根：《数学4》2.4.1例1、例2、例4．（综合变式）

试 卷

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解：（1）ab=|a||b|cos120?1?2????1????1，…………………………………2分 ?2?|a?b|2?(a?b)2?a2?2ab?b2 …………………………………3分

?|a|?2ab?|b| …………………………………4分 又|a|?1，|b|?2，

2所以|a?b|?|a|?2ab?|b|?1?2?4?3，…………………………………5分

2222所以|a?b|?3. …………………………………6分

（2）因为(ka?b)?(ka?b) ，

所以(ka?b)(ka?b)?0， …………………………………7分 即k2a2?b2?0 …………………………………9分 因为|a|?1，|b|?2，

所以k2?4?0， …………………………………11分 即k??2. …………………………………12分

19.（本小题满分12分）

在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c?acosB?bsinA． （1）求A；

（2）若a?2，b?c，求?ABC的面积．

（根据2013课标卷Ⅱ理数17改编，正弦、余弦定理及三角变换的综合问题） 解：（1）解法1：由c?acosB?bsinA及正弦定理可得

sinC?sinAcosB?sinBsinA. …………………………………2分 在?ABC中，C???A?B，所以

sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB. …………………………………4分

由以上两式得sinA?cosA，即tanA?1， …………………………………5分

4解法2：由c?acosB?bsinA及余弦定理可得

又A?(0,?)，所以A??． …………………………………6分

试 卷

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a2?c2?b2c?a??bsinA， …………………………………2分

2ac即b2?c2?a2?2bcsinA， …………………………………3分 由余弦定理得b2?c2?a2?2bccosA

由以上两式得sinA?cosA，即tanA?1， …………………………………5分 又A?(0,?)，所以A??4． …………………………………6分

（2）?ABC的面积S?12bcsinA?bc， …………………………………7分 24由a?2，及余弦定理得

4?b2?c2?2bccosB?b2?c2?2bc， …………………………………8分

因为b?c，所以4?2b?2b， 即b?2224?4?22 ， …………………………………10分

2?2222bc?b?2?1． ………………………………12分 44故?ABC的面积S?

20．（本小题满分12分）

已知数列?an?的前n项和为Sn，且a1?2，an?1?（1）证明：数列?n?2Sn(n?1,2,3,)． n?Sn??是等比数列； n??22n?1（2）设bn?，求数列?bn?的前n项和Tn．

SnSn?1题根：《数学5》2.2习题B组第4题. （变式题）

解：（1）因为，an?1?Sn?1?Sn， …………………………………1分

又an?1?n?2Sn， n所以(n?2)Sn?n(Sn?1?Sn)， …………………………………2分

试 卷

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即nSn?1?2(n?1)Sn， 所以

Sn?1S?2?n(n?N?)． …………………………………4分 n?1n?Sn??是首项为2，公比为2的等比数列． …………………………………6分 n??故数列?（2）由（1）得

Sn?2n，即Sn?n2n． …………………………………8分 n22n?122n?1111所以bn?，……………………10分 ??=?nn?1SnSn?1n2(n?1)2n(n?1)nn?1故数列?bn?的前n项和

?1??11?Tn??1????????2??23?1?1n?1????1??． …………………12分 ?n?1n?1?nn?1?21.(本小题满分12分)

某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距3km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB?75，?BCD?45，?ADC?30，?ADB?45（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的5倍，问施工单位应该准备多长的电线？

题根：《数学5》1.2例2. （改编题）

解：在?ACD中，由已知得?CAD?30，又?ADC?30,

所以AC?CD?AB75°45°C45°30°D3(km)． ……………………………………………………2分

在?BCD中，由已知可得?CBD?60，由正弦定理得

BC?试 卷

3sin753sin（45+30）6?2??.…………………………………6分

sin60sin602