2017年徐汇区初三数学一模试卷及答案

22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）

如图5，一艘海轮位于小岛C的南偏东60?方向、距离小岛120海里的A处，该海轮从

A处沿正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45?方向的B处．

（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（结果保留根号）； （2） 如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．

（参考数据：2?1.41，3?1.73）．

解：（1）过点C作CD?AB，垂足为D．

由题意，得?ACD?30?；

在Rt?ACD中，?ADC?90?，∴cos?ACD?∴CD?AC?cos30??120?北 B C A 图5 CD； AC3?603（海里）． 2（2）在Rt?BCD中，?BDC?90?，?DCA?45?，

CD∴cos?BCD?；

BCCD603； ??606?60?2.44?146.4 （海里）

cos45?22∴146.4?20?7.32?7.3（小时）．

答：该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是603海里；

它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．

∴BC?

5

23．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，满分12分）

如图6，已知?ABC中，点D在边BC上，?DAB??B，点E在边AC上，满足 AE?CD?AD?CE．

（1）求证：DE//AB；

（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．

求证：DF?AF．

A

E

B C D

图6

AEAD； ?CECD ∵?DAB??B，∴AD?BD；

AEBD∴； ?CECD∴DE//AB．

23．证明：（1）∵AE?CD?AD?CE，∴

（2）∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD?DF?AB； 又AD?BD，∴AD?DF?AB；

22ADAB； ?DFAD∵DE//AB，∴?ADF??BAD； ∴?ADF∽?DBA； AFAD∴??1； DFBD∴DF?AF．

∴

6

24．（本题共3小题，每题4分，满分12分）

如图7，已知抛物线y??x?bx?3与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB?OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．

（1）求点D的坐标；

（2）联结CD、BC，求?DBC的余切值；

（3）设点M在线段CA延长线上，如果?EBM和?ABC相似，求点M的坐标．

22y E D C A O 图7 B x 解：（1）∵抛物线y??x?bx?3与y轴交于点C，∴

2C(0,3)； 又抛物线y??x?bx?3与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧）， ∵OB?OC；∴B(3,0)； ∴?9?3b?3?0，解得b?2； ∴y??x?2x?3；∴D(1,4)．

（2）∵OB?OC，∴?OCB??OBC?45?；

∵C(0,3)，D(1,4)，∴?DCy?45?； ∴?DCB?180??2?45??90?； ∴cot?DBC?22BC32??3． DC2COBC ??3，

AOCD ?AOC??DCB?90?，∴?AOC∽?BCD，∴?ACO??CBD； 又?ACB??ACO??OCB??E??CBD，

∴?E??OCB?45?；

当?EBM和?ABC相似时，已可知?E??CBA；

又点M在线段CA延长线上，?ACB??EBA，∴可得?EMB??ACB； ∴MB?BC?32；

由题意，得直线AC的表达式为y?3x?3；设M(x,3x?3)．

（3）由y??x?2x?3，可得A(?1,0)．在?AOC和?BCD中，

7

∴(x?3)?(3x?3)?18，解得x1?? ∴点M的坐标是(?,?)．

226，x2?0（舍去）； 5653525．（本题满分14分）

如图8，已知?ABC中，AB?AC?3，BC?2，点D是边AB上的动点，过点D作

DE//BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE?2DQ，联结BQ并延长，

交边AC于点P．设BD?x，AP?y．

（1）求y关于x的函数解析式及定义域； （4分） （2）当?PEQ是等腰三角形时，求BD的长； （4分） （3）联结CQ，当?CQB和?CBD互补时，求x的值． （6分）

C E P Q A 图8

D

B A 备用图

B C 解：（1）过点D作DF//AC．交BP于点F．

∴

DFDQ1ECAC??；又DE//BC，∴??1； PEQE2BDABP C E ∴EC?BD?x；PE?3?x?y；

Q ∵DF//AC，∴

F D

B 3?x?yxDFBD?， ；即?2y3APABA

∴y?9?3x；定义域为：0?x?3． 2x?3（2）∵DE//BC，∴?PEQ∽?PBC；

∴当?PEQ是等腰三角形时，?PBC也是等腰三角形；

1?当PB?BC时，?ABC∽?PBC；∴BC2?CP?AC；

即4?3(3?y)，解得y?

59?3x512?，解得BD?x?，∴；

32x?33198

D 2?当PC?BC?2时，AP?y?1；∴

9?3x6?1，BD?x?；

2x?353?当PC?PB时，点P与点A重合，不合题意．

（3）∵DE//BC，∴?BDQ??CBD?180?；又?CQB和?CBD互补，

∴?CQB??CBD?180?；∴?CQB??BDQ；∵BD?CE， ∴四边形BCED是等腰梯形；∴?BDE??CED；∴?CQB??CED； 又?DQB??CQB??ECQ??CED，∴?DQB??ECQ； ∴?BDQ∽?QEC；

∴

BDDQx3x22?：即2DQ?x，∴DQ?，DE?； QEEC22∵DE//BC，∴

3x3?xDEAD?；即； ?3BCAB22 解得 x?

542?24．

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