2019年北京市东城区高三一模数学理科试题及答案 word版

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）f(x)定义域为(0,??).

12ax2?(a?2)x?1(2x?1)(ax?1)f'(x)?2ax?(a?2)???.

xxx由已知，得f?(1)?0，解得a=1.

(2x?1)(x?1), 当a=1时，f'(x)?x当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0.

所以f(x)的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+?). 所以a?1时函数f(x)在x?1处取得极小值.

即f?(x)的极小值点为1时a的值为1. ............................6分 （II） 当0?x0?1时，曲线y?f(x)上不存在点P位于x轴的下方，理由如下：

(2x?1)(ax?1),由（I）知f'(x)?x

当a?0时，f'(x)?0，所以f(x)在(0,??)单调递减，f(x)不存在极小值点；

(2x?1)(ax?1)1?0，得x=.

xa11f(x)在区间(0,)上单调递减； 当x?(0,)时，f?(x)?0，aa11当x?(,??)时，f?(x)?0，f(x)在区间(,??)上单调递增.

aa11所以f()=lna+1-是f(x)在(0,??)上的最小值.

aa1由已知，若0?x0?1，则有0??1，即a?1.

a11a?1lna?00??11??0. ，，且，当时

aa1 所以f()?0.

a当0?x0?1时，曲线y?f(x)上所有的点均位于x轴的上方.

当a?0时，令f'(x)?故当0?x0?1时，曲线y?f(x)上不存在点P位于x轴的下方. ..................13分

高三数学（理）答案 第 4 页（共 6 页）

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）因为m?0,由椭圆方程知：a?4m,b?m,a?2m,b?m，

221S?BA1A2??2ab?2m?m?2m?2，所以m?1.

2x2?y2?1. 所以椭圆C的方程为4222由a?2,b?1，a?b?c，得c?3，

所以椭圆C的离心率为

3. ............................5分 2（Ⅱ）设点P(xP,yP),P1(x0,y0),P2(x0,?y0)(x0?0),不妨设A1(?2,0),A2(2,0), 设P1A1:y?y0?y?x?2?，P2A2:y?0?x?2?， x0?2x0?24y0??x?y?x?2，???Px,?x?2??00由?得?

2y?y0?y?0.?y?x?2??P??x0x?2?0?4?x??0x,P??4即?yP?xxy2y?y0?0P=p?P.22xP??

42)x02x4yP22P?y0?1，得?2?1， 又44xP(xP2?yP2?1(xP?0). 化简得4因为A1(?2,0),B(0,1)，所以A1B?5，即M(?5,0),N(5,0).

x2?y2?1的右支，M,N两点恰为其焦点，A1,A2为双 所以点P的轨迹为双曲线4曲线的顶点，且A1A2?4，所以PM?PN?4. ............................13分

高三数学（理）答案 第 5 页（共 6 页）

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）c1=2 c2=1 c3=2 c4=1. ............................3分

（Ⅱ）由于对任意的正整数k(1?k?L)，存在A中的项am，使得am?k. 所以

c1，c2，L，cL均不为零.

c1?c2?L?ck，

nc?c?ccc?cc?c?L?cL知t(1)?L?1?1；. L；t(2)?L?12?2；t(3)?L?123?3；t(L)?L?12nnnn通过解此方程组，可得ci?cj(i，j?1，2，L，L)成立.

必要性：若t(ai)?ai(1?i?n)，由t(k)?L?充分性：若ci?cj(i，j?1，2，L，L)成立，不妨设h?ci?cj(i，j?1，2，L，L)，可以得到

h?L?n.

h2h3hLh所以有：t(1)?L??1；t(2)?L??2；t(3)?L??3；L；t(L)?L??L.

nnnn

所以t(ai)?ai(1?i?n)成立. ............................9分

L，an的所有不同取值为u1，u2，L，um，且满足：u1?u2?L?um. （Ⅲ）设A:a1，a2，不妨设A:u11，u12，L,u1r1，u21，u22，L，u2r2，L，um1，um2，L，umrm， 其中u11?u12=L?u1r；u21?u22?L?u2r；L；um1?um2=L?umr.

12m又因为L?n，根据变换T有：t(u11)?t(u12)?L?t(u1r1)?t(u1)?L?t(u21)?t(u22)?L?t(u2r2)?t(u2)?L?cu1?cu2n?r1?r2；L;

cu1n?r1；

t(um1)?t(um2)?L?t(umrm)?t(um)?L?cu1?cu2?L?cumnr2个?r1?r2?L?rm?L；

所以T(A):t(u1),t(u1),r1个,t(u1)，t(u2),t(u2),,t(u2)，t(um),t(um),rm个,t(um).

即T(A):r1,r1,r1个,r1，r1?r2,r1?r2,r2个,r1?r2，，L,L,rm个,L.

所以

T(T(A)):t(r1),t(r1),r1个,t(r1),t(r1?r2),t(r1?r2),r2个,t(r1?r2)，，t(L),t(L),rm个,t(L).

因为r1?r1?r2??r1?r2??rm,

,t(r1?r2??rm)?L.

所以有t(r1)?r1,t(r1?r2)?r1?r2,因此，b1?b2??br1?r1,br1?1?br2?1??rm?1?2?br1?r2?r1?r2,?rm?L

,

br1?r2??rm?1?1?br1?r2?r1个??bn?r1?r2?r2个即T(T(A)):r1,r1,,r1，r1?r2,r1?r2,,r1?r2，，L,L,rm个,L.

从而bi?t(ai)(i?1,2,,n).

因此结论成立. ...........................14分

高三数学（理）答案 第 6 页（共 6 页）