支教数学教案

魏巍：女，数学科学学院10级本科生。入校以来积极参加校学生会等组织，现任校自管会副

主席，院学生会部长，曾被评为优秀部员。于2011学年度获得专业三等奖学金。性格乐观开朗，擅长与人沟通，曾作为辅导员带领同学们参加夏令营，可以很快融入到同学们中去，成为他们学习生活上的“阳光姐姐”。同时，热心公益事业，曾参加过敬老爱老志愿者培训；喜欢新鲜事物，挑战自己，在校外担任见习主管，为人处事，沟通交流等方面具有一定能力。

数学教案：数学归纳法专题

课时：2课时

考点阐述：数学归纳法，数学归纳法的应用 考试要求：

1）理解数学归纳法的原理

2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 教学重点与难点：

重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明

一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

难点：

（1）学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤作用，不易根据归纳假设作出证明；

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。 教学目标

1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．

2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．

3．抽象思维和概括能力进一步得到提高 教学方法:类比启发式教学方法 教学过程

一、学前准备

ana?(n?1,2,L)，那么该数列的各项能确

1题：对于数列?an?，已知a1?1，且n?11?an定吗？请归纳出数列?an?的通项公式。

2题：已知P(k)成立，则P(k?1)成立，且P(5)不成立，则一定错的是（ ）

A．P(4)成立 B．P(4)不成立 C．P(6)成立 D．P(6)不成立

二、课程导入

问题1：如图：有若干块骨牌竖直摆放。在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒

下的条件是什么？

（1） （2）

答案：只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下： （1）第一块骨牌倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 思考：你认为条件（2）的作用是什么？

答案：可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。

1问题2：证明上面数列?an?的通项公式an?这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？

n你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 多米诺骨牌游戏 原理 ⑴第一块骨牌倒下。 ⑵若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。 根据⑴和⑵，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 通项公式an? 1的证明方法 n 问题3： 上述证明方法叫做数学归纳法，一般地，用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命

题，其证明步骤如何？

多米诺骨牌游戏原理 ? 通项公式 的证明方法

（1）第一块骨牌倒下 ? （1）当n=1时a1=1，猜想成立 （2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。?（2）若当n=k时猜想成立，

即 ，则当n=k+1时猜想也成立. 即根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。?根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。 三、知识点讲解 数学归纳法的原理

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n=k( )时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法. 注意：（1）这两步步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2），就作出判断

可能得出不正确的结论。因为单靠步骤（1），无法递推上去，即n取n0?以后的数时命题是否正确，我们无法判定。同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得出不正确的结论。缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了。

（2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合

理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”， 而不是直接代入，否则 n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明。 （3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数

学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。 四、例题讲解

例1:用数学归纳法证明：1+3+5+?+(2n－1)=n2. 证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.

(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+?+(2k－1)=k2， 那么1+3+5+?+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2. ∴n=k+1时也成立.

由(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立

例2：用数学归纳法证明：1+2+3+?+n=n*(n+1)/2 .

证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=左边=1.

∴等式成立.

(2)假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+?+k=n*(n+1)/2. 那么当n=k+1时，

1+2+3+?+k+(k+1)= k(k+1)+(k+1)=(k+1)( k+1)= (k+1)(k+1+1) ∴n=k+1时，等式也成立.

由(1)(2)可知等式对一切n∈N*都成立. 五、课堂练习：

例1：用数学归纳法证明：

1111n???...?? 1?33?55?7(2n?1)(2n?1)2n?1

例2：已知数列

1111,,,... 1?44?77?10(3n?2)(3n?1)?，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。

例3：如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将

圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分；那么

⑴在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段，将圆最多分割成多少部分？ ⑵猜想：圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成多少条线段？ ⑶猜想：在圆内画n条线段，两两相交，将圆最多分割成多少部分？并用数学归纳法证明猜想。

①

② ③ ④ ⑤

六、课后作业

1．用数学归纳法证明: 1?a?a???a2n?11?an?2? (a?1,n?N?)，在验证n?1成立时，

1?a3左边计算所得结果是 （ ） A．1 B．1?a C．1?a?a D．1?a?a?a

2．用数学归纳法证明：1?2?2???22n?122?2n?1

1n(n?1)(n?2) 64．用数学归纳法证明：?1?3?5???(?1)n(2n?1)?(?1)nn

1111,,,...,,...，计算S1,S2,S3,S4,由此推测计算Sn的公式，并5．已知数列

1?22?33?4n(n?1)3．用数学归纳法证明：1?n?2?(n?1)?3?(n?2)???n?1?给出证明。

6．首项是a1，公比是q的等比数列，用数学归纳法证证明：通项公式是an?a1qn?1，前项和的

a1(1?qn)公式是sn?

1?q七、小结 ：

1.数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题 2.数学归纳法证明命题的两个步骤缺一不可

3.证明n=k+1命题成立时，首先明确证明的目标，同时利用假设完成证明

4.书写时明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用

到，结论莫忘掉”；从n=k到 n=k+1时，变形方法有乘法公式，因式分解，填拆项，配方等。