高考数学热点难点专题07+导数有关的构造函数方法(理)(教师版)

专题07 导数有关的构造函数方法

一．知识点

基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数

①(C)′＝________(C为常数); ②(x)′＝________； 1?

③(x2)′＝________； ④??x?′＝________； ⑤(x)′＝________． (2)初等函数的导数公式

①(xn)′＝________； ②(sin x)′＝__________； ③(cos x)′＝________； ④(ex)′＝________； ⑤(ax)′＝___________； ⑥(ln x)′＝________；

⑦(logax)′＝__________． 5．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；

?f（x）?′＝____________________________． (3)???g（x）?

6．复合函数的导数

(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))．

(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为___________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 二．题型分析 1.构造多项式函数 2.构造三角函数型

3.构造e形式的函数 4.构造成积的形式

x5.与lnx有关的构造 6.构造成商的形式

.

7.对称问题

（一）构造多项式函数

例1．已知函数f?x??x?R?满足f?l??1，且f?x?的导函数f'?x??A.C.【答案】D

B.?x|x??1? D.?x|x?1?

1x1，则f?x???的解集为（ ） 222考点：函数的单调性与导数的关系.

【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数F?x?，利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.

练习1.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x)，对于任意的实数x，都有

，当

x?(??,0)时，.若

，则实数m的取值范围是（ ）

A．[?,??) B．[?,??) C．[?1,??) D．[?2,??) 【答案】A 【解析】∵

，设

，则

，∴g(x)为奇函

1232数，又，∴g(x)在(??,0)上是减函数，从而在R上是减函数，又等价于

，即

，

∴m?1??m，解得m??1． 2考点：导数在函数单调性中的应用.

.

【思路点睛】因为，设，则，可得g(x)为奇函数，又

数的奇偶性和单调性可得练习2.设奇函数

在上存在导数

，得g(x)在(??,0)上是减函数，从而在R上是减函数，在根据函

，由此即可求出结果. ,且在

上

,若

,则实

数的取值范围为（ ） A．C．

B． D．

【答案】B

【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键. 练习3.设函数f(x)在R上存在导函数f?(x)，对任意x?R，都有

，且x?(0,??)时，

f?(x)?x，若，则实数a的取值范围是（ ）

A．?1,??? B．???,1? C．???,2? D．?2,???

【答案】B

【解析】令，则，则，

得g(x)为R上的奇函数．∵x?0时，，故g(x)在(0,??)单调递增，再结合g(0)?0 .

及g(x)为奇函数，知g(x)在(??,??)为增函数，又

则

，即

a????,1?．故选B．

考点：函数的单调性及导数的应用.

【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化为关于a的不等式来求解.本题解答的关键是由已知条件f?(x)?x进行联想，构造出新函数

，然后结合

等式

（二）构造三角函数型

例2．已知函数f?x?的定义域为R,f且?x?R，

'来研究函数g?x?的奇偶性和单调性，再通过要解的不，最终得到关于a的不等式，解得答案.

构造

?x?为函数f?x?的导函数，当x??0,???时，

.则下列说法一定正确的是（ ）

A. B.

C.【答案】B 【解析】令

D.

，则

，即

，所以

.因为当x??0,???时，

，所以

，所以

，故

在R上单调递增，所以

在x??0,???上单调递增.又?x?R，，所以为奇函数，所以

.即，故选B.

.