向量代数与空间解析几何

5????|a?b| ≤ |a||b|?

5．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1??两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定。

2??????两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

3??在实数中，若a?0，且ab=0，则b=0；但是在向量数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0。因为其中cos?有可能为0。这就得性质2。

4??已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc 且a=c。但是a?b= b?c 且a = c 如图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA| a?b= |b||c|cos? = |b||OA|

ab=bc 但a ?c

5? 在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c? a(b?c)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。 5．例题、已知a?b = —2，|a|=1， |b|=4，求 解： 略 三、投影的概念： 1．“投影”的概念：作图

?a,b?

??定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影，记作 ???a,b?

??b?Prja ??Prjba????bcos?a,b???? acos?a,b????????a?aPr?b ja所以有 a?b?bPrjb 注意：1???投影也是一个数量，不是向量。 2????当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值；

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当?为直角时投影为0； 当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|。 2．向量的数量积的几何意义：

数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积。

3．基本性质: 向量的数量积满足以下运算规律：对于任意的向量a,b,c及实数?有

（1）?对称性 （2）?线性之一a?b?b? a(?a)?b??(a?b)?a?(?b)；

（3）?线性之二 （4）?正定性(a?c)?b?a?b?c?b

a?a?a2?0,等号成立当且仅当 a?0时取等号；

???a,b?b；a?b； 例：已知|a|=4， |b|=5,= 30??求a?b, (3a?2b)?（解略）

???????2例： 已知?a,b???，a?3,b?4求向量c?3a?2b的模。

3解： 根据数量积的定义和性质，有

?2?????? c?c?c?(3a?2b)?(3a?2b)

?????? ?(3a?2b)?(3a)?(3a?2b)?(2b)

????????? ?9a?a?6b?a?6a?b?4b?b

?2?????2=9a?12abcos?a,b??4b

?9?3?12?3?4cos??4?4 ?81?72?64?73, 所以

2232? c?73 四、用向量的坐标来表示数量积。

????????设a?axi?ayj?azk,b?bxi?byj?bzk，利用数量的运算性质，可得

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????????a?b?(axi?ayj?azk)?(bxi?byj?bzk)

???????????? ?(axi?ayj?azk)(bxi)?(axi?ayj?azk)(byj)?(axi?ayj?azk)(bzk) ???????? = axbx(i?i)?aybx(j?i)?azbx(k?i)?axby(i?j)?

?????????? ayby(j?j)?azby(k?j)?axbz(i?k)?aybz(j?k)?azbz(k?k)

因为是两两互相垂直的单位向量，故有

???2???2???2 i?i?i?1, j?j?j?1, k?k?k?1

???????????? i?j?j?i?0, i?k?k?i?0, j?k?k?j?0

所以

?? a?b?axbx?ayby?azbz （3）

（3）式称为数量的坐标表示式。

??（3）式又能得到两个非零向量a和b的夹角的余弦的坐标表示式

当a?b时，由此式还可得到向量a的模的坐标表示式：

a?a2?a?a?x12?y12?z12

对于非零向量a与b，从数量积的定义，我们还可以求出它们夹角余弦的坐标表示式：

cos?(a,b)?

a?bab?x1x2?y1y2?z1z2x12?y12?z12x22?y22?z22 (9.4)

我们把任一向量a与基本单位向量i,j,k的夹角?,?,?称为向量a的方向角，而

cos?,cos?,cos?称为a的方向余弦。于是向量a的方向余弦的坐标表示式为：

?x1a?i??cos??ax12?y12?z12??y1a?j?cos????ax12?y12?z12??z1?cos??a?k?a?x12?y12?z12?

显然 cos??cos??cos??1

例 已知三点A（-1，2，3），B（1，1，1）C（0，0，5），求?ABC。

222???????????????? 解 作向量BA , BC则BA与BC的夹角就是?ABC

因为

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???? BA?(?1?1,2?1,3?1)?(?2,1,2),

????BC?(0?1,0?1,5?1)?(?1,?1,4),

故

???????? BA?BC?(?2)?(?1)?1?(?1)?2?4?9,

????????222222 BA?(?2)?1?2?3,BC?(?1)?(?1)?4?32 于是

????????BA?BC92 cos?ABC?????, ??????2BABC3?32所以

?ABC??4.

???????????a 例3 设a??i?j , b?2i?j?2k，求 a?b ，Prjb 解 由（3）式得

?? a?b?(?1)?2?1?1?0?(?2)??1

因为

?????a a?b?bPrjb而

?222 b?2?1?(?2)?3

所以

???a?b1?a????. Prjb3b例4 设?ABC的三个顶点为A(0,1,?1),B(1,3,4),C(?1,?1,0)，证明?ABC为直角三角形。

解 各边所在的向量为 AB?i?2j?5k，

???????因为 AB?AC?1?(?1)?2?(?2)?5?1?0 所以 AB?AC 故 ?ABC为直角三角形。

???????BC??2i?4j?4k

???AC??i?2j?k

??????? 16