（优辅资源）福建省漳州市高三数学上学期期末试卷 文（含解析）

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【点评】本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．

15．如图，F1、F2为双曲线

的焦点，A、B为双曲线的顶点，

以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为

．

【考点】双曲线的简单性质；圆的标准方程． 【专题】计算题．

【分析】由题意求出圆的方程，双曲线的渐近线方程，通过∠MAB=30°求出a，b的关系，然后求出双曲线的离心率．

【解答】解：由题意可知，圆的方程为x+y=c，双曲线的渐近线方程为y=将其代入圆的方程得M（a，b），N（﹣a，﹣b）．因为∠BAM=30°． 连接MB，在Rt△MAB中，tan∠BAM=

，

=

=

，

2

2

2

，

所以e===．

故答案为：．

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【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查圆的方程的应用，考查计算能力．

16．有下列四个命题： ①

的夹角为锐角的充要条件是

．

②?x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny； ③?a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=a

2

2

1﹣2x

+1都恒过定点；

④方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D+E﹣4F≥0； 其中正确命题的序号是 ②③ ．（将正确命题的序号都填上） 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】常规题型；综合题． 【分析】①若非零向量

同向共线时，其

的夹角为锐角，则一定有

，；反之，满足

的

22

夹角为0°，却不是锐角，故可以判断①真假．

②取x=y=0时，可以判断出②的真假．

③当x=时，其函数值f（）=2与a无关，故可以判断函数f（x）=a

，由此可以判断③真假．

1﹣2x

+1都恒过定点

④方程x+y+Dx+Ey+F=0经配方可化为：

以判断出方程x+y+Dx+Ey+F=0何时表示圆，进而可知④的真假． 【解答】解：①若非零向量之，当

同向共线时，满足

的夹角为锐角，则

，则向量

2

2

22

，有此式可

＞0；反

夹角为0°，却不是锐角，故①是

假命题．

②当x=y=0时，该等式成立，故②是真命题．

③当x=时，f（）=2，，故对于?a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=a定点

，因此③是真命题；

1﹣2x

+1都恒过

④方程x+y+Dx+Ey+F=0经配方可化为：

2

2

2

2

2

2

22

，只有当

D+E﹣4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0才表示圆，而当D+E﹣4F=0时该方程表示点（﹣，﹣）．故④是假命题． 故答案为②③．

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【点评】本题主要考查向量夹角公式、全称命题与特称命题、指数函数类型的图象过定点问题、圆的一般方程何时表示圆，解决问题的关键是准确掌握有关基础知识．

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

2

17．设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=2，a3=a2﹣10． （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设{bn}是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列{an﹣bn}的前n项和Sn． 【考点】数列的求和；等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）由已知条件利用等差数列通项公式求出差，由此能求出an=2n． （Ⅱ）由已知条件得

，an﹣bn=2n﹣3

n﹣1

，由此能求出数列{an﹣bn}的前n项和Sn．

2

【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是公差大于零的等差数列，a1=2，a3=a2﹣10．

2

∴2+2d=（2+d）﹣10， 解得d=2，或d=﹣4（舍）， ∴an=2+（n﹣1）×2=2n．

（Ⅱ）∵{bn}是以1为首项，以3为公比的等比数列， ∴

，

n﹣1

∴an﹣bn=2n﹣3，

2n﹣1

∴Sn=2（1+2+3+…+n）﹣（1+3+3+…+3） =2×

﹣

=．

【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．

18．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB=DC=1，BP=BC=中点．

（Ⅰ）求证：BF∥平面PAD；

（Ⅱ）求证：平面ADP⊥平面PDC； （Ⅲ）求VP﹣ABCD．

，PC=2，AB⊥平面PBC，F为PC

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

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【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）取PD的中点为E，连接EF，由已知条件推导出四边形ABFE为平行四边形，由此能证明BF∥平面PAD．

（Ⅱ）由等腰三角形性质得BF⊥PC，由线面垂直得CD⊥平面PBC，从而得到BF⊥平面PDC，由此能证明平面ADP⊥平面PDC．

（Ⅲ）由勾股定理得PB⊥BC，所以PB是四棱锥的高，由此能求出VP﹣ABCD． 【解答】（Ⅰ）证明：取PD的中点为E，连接EF， ∵F为PC中点∴EF为△PDC的中位线， 即EF∥DC且又∵AB∥CD，

．…（2分）

，∴AB∥EF且AB=EF，

∴四边形ABFE为平行四边形，∴BF∥AE．…（3分） 又∵AE?平面PAD．BF?平面PAD ∴BF∥平面PAD．…（4分）

（Ⅱ）证明：∵BP=BC，F为PC的中点，∴BF⊥PC．…（5分） 又AB⊥平面PBC，AB∥CD，∴CD⊥平面PBC，…（6分） DC⊥BF，又DC∩PC=C，∴BF⊥平面PDC．…（7分） 由（Ⅰ）知，AE∥BF，

∴AE⊥平面PDC，又AE?平面ADP， ∴平面ADP⊥平面PDC．…（8分）

（Ⅲ）解：∵AB⊥平面PBC，AB?平面ABCD， ∴平面ABCD⊥平面PBC且交线为BC…（9分） 又，∴PB⊥BC， ∴PB⊥平面ABCD，

∴PB是四棱锥的高，…（10分） ∴

．…（12分）

【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查锥体体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 19．（Ⅰ）一个骰子投掷2次，得到的点数分别为a，b，求直线y=a﹣b与函数y=sinx图象所有交点中相邻两个交点的距离都相等的概率．

（Ⅱ）若a是从区间[0，6]上任取一个数，b是从区间[0，6]上任取一个数，求直线y=a﹣b在函数y=sinx图象上方的概率．

【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．

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