韦达定理应用（资料）

韦达定理的应用

一、典型例题

例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。

解：设另一个根为x1，则

相加，得x

例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分

别为和.

解：∵又

∴代入得，∴新方程为

例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？

解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为

∴，。

∴以为根的一元二次方程即为.

例4：解方程组

解：设

∴A=5. ∴x-y=5又xy=-6.

∴.

∴解方程组

∴可解得

例5：已知RtABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S

的值

解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。又a，b为方程两根。

∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且

∴∴

∴m=5或6当m=6时，∴m=5∴S.

例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根

① 均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数

解：①∵∴m>7

②∵

∴不存在这样的情况。

③∴m<7

④∴m=7

⑤

∴m=15.但使

∴不存在这种情况

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于

2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q=

3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（）

A．±8 B.8 C.－8 D.±4

4. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？

5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值范围。

6. 已知方程组值。

的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的

7. ABC中，AB=AC， A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x 的

方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根，求ABC的周长。

【试题答案】

1. －1 2. 4，1 3. A 4. a=1或13

5. －3≤a≤－2 提示：分a=－3以及a≠－3讨论求解 6. 13

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根． (’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得 x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198， 即x1x2－x1－x2＋1＝199． ∴(x1－1)(x2－1)＝199． 注意到x1－1、x2－1均为整数，

解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得