推理、计数原理、二项式定理专题练习作业含答案

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0≤m≤3,0≤n≤5，即m，n为方程t2－6t＋2＝0的解，解得t＝3±2，66

取m＝3－2，n＝3＋2，得一条满足要求的直线l；若是图3中的直线，则m，n满足m＋n＝6，mn＝10，即m，n为方程t2－6t＋10＝0的解，此方程无实数解，故不存在满足要求的直线l.综上，△ABC的“平分线”的条数为1.

二、填空题

13．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且(a＋b)⊥b，则a与b的夹角θ为________．

5π

答案 6

解析 方法一 因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，则a·b＋b2＝0，3

即23cosθ＋3＝0，所以cosθ＝－2.又θ∈[0，π]，则a与b的夹角5πθ为6.

→→→

方法二 如图，令OA＝a＋b，OB＝b，则BA＝a，在Rt△OAB→|OB|3π5π

中，cosB＝→＝2，所以B＝6.则a与b的夹角θ为6. |BA|

14．(2014·武昌调研)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________.

答案 480

解析 由频率分布直方图可得，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600－(0.005＋0.015)×10×600＝480.

15．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为________．

7答案 10

解析 在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则(m，n)表示的图形面积为(4－1)×(6－1)＝15，其中满足m>n，即在

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直线m＝n右侧的点表示的图形，面积为2×(2＋5)×3＝2，故m>n2127

的概率P＝15＝10.

y≤3x－2，??

16．(2014·济南训练)设变量x，y满足约束条件?x－2y＋1≤0，

??2x＋y≤8，y

则x的最大值是________．

答案 2

y

解析 二元一次不等式组表示的区域如图阴影部分所示，x表示

??2x＋y＝8，

阴影部分内一点与原点连线的斜率，在点A，即?的交点

??y＝3x－2

y

(2,4)处，x取最大值2.

?2x，x≥0，?x·

17．设函数f(x)＝?则方程f(x)＝x2＋1的实数解

??－2sin2x，x<0，

的个数为________．

答案 3

解析 当x＝0时，f(x)≠x2＋1，不符合题意；当x>0时，由f(x)

1

＝x＋1，得x·2＝x＋1，即2＝x＋x.在直角坐标系中，作出函数y

2

x

2

x

1

＝2，y＝x＋x的图像，由图像可知，当x>0时，只有1个交点；当

x

x<0时，由f(x)＝x2＋1，得－2sin2x＝x2＋1.作出y＝－2sin2x，y＝x2＋1的图像，由图像可知，当x<0时，两函数图像有

2个交点，所以总共有3个交点，即方程f(x)＝x2＋1的实数解的个数为3.

探究 本题主要考查分段函数的图像与性质基础知识，对考生的逻辑能力及分析问题、解决问题的能力有较高的要求．求解时，将方程f(x)＝x2＋1的实数解问题转化为两个函数图像的交点问题，结合图像进行求解．

→1→→18．已知P为△ABC所在的平面上的一点，且AP＝3AB＋tAC，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是________．

2

答案 (0，3) →→

解析 若点P落在△ABC内，延长AP交BC于D，则AP＝mAD，

→→→→→→

00，∴mn＝，t＝m(1－n)＝m－∈(0，3333)．