新高一衔接课程第三讲 分类讨论与整体思想

第一部分 分类讨论思想

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第三讲 分类讨论思想与整体思想 2015.7.31

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略。正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；

（3）分类讨论应逐级有序进行；（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型。

题型1.考查数学概念及定义的分类

规律提示:以绝对值、方程及根、函数的定义尤为重要，须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。 例题1．方程x?x?5x?6?0的最大根与最小根的积为＿＿＿＿＿＿. 例题2．解关于x 的方程：ax - 1= x

例题3．试解关于x的方程(x?1) 例题4．

x?1?1

3ax4?2?无解，求a? x?3x?9x?3例题5．已知四个数：10、10、x、8，它们的中位数和平均数相等，则x=___________

题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.

规律提示：通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，应十分注意性质、定理的使用条件及范围.

22例题1．已知x?y?25,x?y?7，则x?y的值等于＿＿＿＿＿＿＿.

例题2．如图所示，在平行四边形ABCD中， AD?4cm，∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm

的速度沿A?B?C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.

（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积； （2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A?B?C的路线运动，

且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm. ①求S关于t的函数关系式；②求S的最大值.

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题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.

规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象。 例题1．平面上A、B两点到直线l的距离分别是2?3与2?3，则线段AB的中点C到直线l的距离是（ ）

A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定

例题2．直角三角形的两边为3和4，那么第三边长为 例题3．已知x，y为直角三角形两边的长满足

，则第三边的长为_____________

例题4．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从A出发，沿AB以每秒1cm的速度 向B运动，同时，点Q从点

B出发，沿BC以相同速度向C运动，问，当运动几秒后，△PBQ为直角三角形？

例题5．在等腰三角形ABC中，AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个三角形

的底边长为：.

例题6．三角形一边长AB为13cm，另一边AC为15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。

题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类

规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加例题1.直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形最长边等于____________．

例题2.在直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )

(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 课堂训练

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1．若等腰三角形的一个内角为50，则其他两个内角为（ ）

0 o000 0

A．50，80 B．65， 65 C．50，65D．500，800或 650，650 2．若|a|?3,|b|?2,且a?b,则a?b?( )

A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1

3．等腰三角形的一边长为3cm，周长是13 cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ） A．5 cm B.3 cm C．5 cm或3 cm D．不确定

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4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的所称的锐角为40，则该三角形的底角的度数为（ ） A．500 B、650 C．400 D．250或 650

5．一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9， 则kb值为（ ） A．14 B．－6 C．－4或21 D.－6或14 6．已知|x|?3,|y|?2,且xy?0,则x?y?_______.

7．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 _. 8．10 若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为 1，则

ab?(b?c)m?m2的值是______. m9.已知：如图，矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E是CD上一点（不与C、D重合），连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F．

（1） 若DE=27，求BF的值；

AB（2） 在点E从D运动到C的过程中，若△AEB为等腰三角形，请写出BF的长，并说明理由．

ED

F A

CB第二部分 整体思想

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想

4x2?x?62

3【例1】 已知代数式3x－4x+6的值为9，则的值为 ( ) A．18 B．12 C．9 D．7

相应练习：

1. 若代数式4x?2x?5的值为7，那么代数式2x?x?1的值等于（ ）． A．2 B．3 C．－2 D．4

22

2.若3a-a-2=0,则 5+2a-6a=

a?1?a?4?a?2?2?2??a?2aa?4a?4?a?2，其中a满足a2－2a－1=0． 3.先化简，再求值?

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【例2】.已知

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11a?2ab?b??4，则的值等于（ ） ab2a?2b?7ab122 D.?57

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A.6 B.?6 C.

【例3】已知a?200x?2007，b?200x?2008，c?200x?2009，求多项式a2?b2?c2?ab?bc?ac的值．

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【例4】逐步降次代入求值：已知m-m-1=0，求代数式m-2m+2005的值．

232相应练习：1、已知m是方程x?2x?5?0的一个根，求m?2m?5m?9的值.

22、已知m是方程x?3x?1?0的根，求代数式m4?21m?10的值.

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例题5、如果方程x＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：

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（1）已知关于x的方程x＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数； （2）已知a、b满足a－15a－5＝0，b－15b－5＝0，求

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ab＋的值； ba（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．

二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想

?x?2y?4k?1，且0?x?y?3，则k的取值范围是

2x?y?k?2?52【例6】．解方程 2x?3x?4?

2x2?3x【例5】已知?

三．函数与图象中的整体思想

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