人教版数学八年级下册平行四边形全章复习与巩固(基础)知识讲解

∵四边形EFGH为菱形， ∴四边形EFGH为正方形；

（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，

∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD，

∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE， ∵四边形EFGH为菱形， ∴HE=GF，HE∥GF， ∴∠HEG=∠FGE， ∴∠AEH=∠QGF， 在△AEH和△QGF中

，

∴△AEH≌△QGF， ∴AH=QF=2， ∵DG=6，CD=8， ∴CG=2，

∴△FCG的面积=CG?FQ=×2×2=2．

【总结升华】本题考查了正方形的判定与性质：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定；正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．也考查了菱形和矩形的性质．

举一反三：

【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四

边形EFGH为________形．

(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． (2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． (3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．

【答案】四边形EFGH为平行四边形； 解：(1)AC＝BD，

理由：如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，

此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝

11BD，HG＝AC，得EH＝GH， 22故四边形EFGH为菱形．

(2)AC⊥BD，

理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直， 此时四边形EFGH为平行四边形．

易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形． (3)AC＝BD且AC⊥BD，

理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直， 综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．

本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．