人教版数学八年级下册平行四边形全章复习与巩固(基础)知识讲解

（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

在△OAE与△OCF中

，

∴△OAE≌△OCF， ∴OE=OF， 同理OG=OH，

∴四边形EGFH是平行四边形； （2）解：与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH；

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∵EF∥AB，GH∥BC，

∴四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形， ∵EF过点O，GH过点O， ∵OE=OF，OG=OH，

∴口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH，口ACHD它们面积=口ABCD的面积， ∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH．

类型二、矩形

3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．

【答案与解析】 证明：①∵CN∥AB，

∴∠DAC＝∠NCA， 在△AMD和△CMN中，

??DAC??NCA?∵?MA?MC， ??AMD??CMN?∴△AMD≌△CMN（ASA）， ∴AD＝CN， 又∵AD∥CN，

∴四边形ADCN是平行四边形， ∴CD＝AN；

②∵∠AMD＝2∠MCD ，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC， ∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC，

由①知四边形ADCN是平行四边形， ∴MD＝MN＝MA＝MC， ∴AC＝DN，

∴四边形ADCN是矩形．

【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．

4、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.

【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入Rt△AEF中，由折叠可知CD＝CF，DE＝EF，易得AC＝10，所以AF＝4，AE＝8-EF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出EF的值． 【答案与解析】 解：设EF＝x，

由折叠可得：DE＝EF＝x，CF＝CD＝6， 又∵ 在Rt△ADC中，AC?62?82?10． ∴ AF＝AC－CF＝4，AE＝AD－DE＝8－x． 在Rt△AEF中，AE2?AF2?EF2， 即(8?x)?4?x，

解得：x＝3 ∴ EF＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．

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举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若

AB ＝ 3cm，BC ＝ 5cm，则重叠部分△DEF的面积是__________cm2．

【答案】5.1.

提示：由题意可知BF＝DF，设FC＝x，DF＝5－x，在Rt△DFC中，

811解得x＝，BF＝DE＝3.4，则S△DEF=DE?AB＝DC2?FC2?DF2，

522×3.4×3＝5.1.

类型三、菱形

5、如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于( ).

A.80° B.70° C.65° D.60°

【答案】D； 【解析】

解：连结BF，由FE是AB的中垂线，知FB＝FA，

于是∠FBA＝∠FAB＝

＝40°.

∴∠CFB＝40°＋40°＝80°,

由菱形ABCD知，DC＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF， 于是△DCF≌△BCF，

因此∠CFD＝∠CFB＝80°,

在△CDF中, ∠CDF＝180°－40°－80°＝60°.

【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键

是要记住它们的判定和性质.

举一反三：

【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱

形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．

【答案】四边形ABCD是菱形；

证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,

过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F． ∴∠CFB＝∠AEB＝90°．

∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF, ∴AB＝BC,

∴四边形ABCD是菱形. 类型四、正方形

6、（2015春?上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF． （1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DG=6，求△FCG的面积．

【思路点拨】（1）通过证明Rt△DHG≌△AEH，得到∠DHG=∠AEH，从而得到∠GHE=90°，然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形EFGH为正方形；

（2）作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，利用AB∥CD得到∠AEG=∠QGE，再根据菱形的性质得HE=GF，HE∥GF，则∠HEG=∠FGE，所以∠AEH=∠QGF，于是可证明△AEH≌△QGF，得到AH=QF=2，然后根据三角形面积公式求解． 【答案与解析】

（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，

∴HG=EH，

∵AH=2，DG=2， ∴DG=AH，

在Rt△DHG和△AEH中，

，

∴Rt△DHG≌△AEH， ∴∠DHG=∠AEH，

∵∠AEH+∠AHE=90°， ∴∠DHG+∠AHG=90°， ∴∠GHE=90°，