人教A版高中数学必修5第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法教案(5)

2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)

从容说课

本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.

教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 教具准备 课件

三维目标

一、知识与技能

1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；

2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法

1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学； 2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习； 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观

1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点； 2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.

教学过程

导入新课

师 课本图211中的正方形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，….

师 图212中正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，….

师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ 生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…; 无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，…. 生 一些分数排成的一列数：

246810，，，，，….315356399

推进新课

［合作探究］ 折纸问题

师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).

生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.

师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？

生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①

1

随着对折数面积依次为

11111, , , ,…, ,…. 24816256生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困

难了.

师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数. 生 还有一定次序.

师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］

1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列. 注意：

（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？

生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项. 3.数列的分类：

1)根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列. 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列. 2)根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列. 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列. 常数数列：各项相等的数列.

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列. ［知识拓展］

师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？ 生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2n. ［合作探究］

同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16 32

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序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示？

生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),…. 师 说的很好.如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公

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式就叫做这个数列的通项公式. ［例题剖析］

1.根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项： (1)an=

n;(2)an=(-1)n·n. n?1师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.

生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=

12345;a2=;a3=;a4=;a5=. 23456(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.

师 好！就这样解.

2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，…；(2)

246810，，，，，…； 315356399(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，…. 师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)

生老师，我写好了！

1?(?1)n2n解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝；

(2n?1)(2n?1)2(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，

1?(?1)n∴an＝n＋；

2(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…， ∴an＝(-1)n+1n(n＋1).

师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式. ［合作探究］

师 函数与数列的比较(由学生完成此表)： 定义域 解析式 图象 函数 R或R的子集 y=f(x) 点的集合 数列(特殊的函数) N*或它的有限子集{1，2，…，n} an=f(n) 一些离散的点的集合 师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列: 4，5，6，7，8，9，10…;② 1,

111 , , ,…③的图象. 234生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为

3

师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.

111 , , ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 2341生 与我们学过的反比例函数y?的图象有关.

x师 数列1,

师 这两数列的图象有什么特点？

生 其特点为：它们都是一群孤立的点.

生 它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点. 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念. 课堂小结

对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式. 布置作业

课本第38页习题2.1 A组第1题.

板书设计

数列的概念与简单表示法(一) 定义 1.数列 例1 2.项 3.一般形式 例2 函数定义 4.通项公式 5.有穷数列 6.无穷数列 备课资料

一、备用例题

1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

22?132?142?152?1;,;(1)1，3，5，7；(2); 2345(3)?1111,? ,? ,?. 1?22?33?44?5分析： (1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1

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序号： 1 2 3 4

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