高中数学(苏教版选修2-2)配套习题：第一章 导数及其应用1.2.3 含解析

1.2.3 简单复合函数的导数

明目标、知重点 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

2．复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．

探究点一 复合函数的定义

思考1 观察函数y＝2xcosx及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？

答 y＝2xcosx是由u＝2x及v＝cosx相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝lnu(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以y＝ln(x＋2)称为复合函数．

思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？

答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时

可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．

思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？

答 A?B.

小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．

例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos3x.

解 (1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；

(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的； (3)y＝cos3x是由函数y＝cosu，u＝3x复合而成的．

反思与感悟 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．

跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成： (1)y＝ln

x；(2)y＝esinx；(3)y＝cos (

x；

3x＋1)．

解 (1)y＝lnu，u＝(2)y＝eu，u＝sinx； (3)y＝cosu，u＝

3x＋1.

探究点二 复合函数的导数 思考 如何求复合函数的导数？

答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．

例2 求下列函数的导数：

11－2x

(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝

π

；

(3)y＝sin(－2x＋)；(4)y＝102x＋3.

3

解 (1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3；

1

1

1

(2)y＝

＝(1－2x)－可看作y＝u－，u＝1－2x的复合函数，则yx′

221－2x

1

3

3

1

＝yu′·ux′＝(－)u－·(－2)＝(1－2x)－＝

222?1－2x?；

1－2x

π

(3)原函数可看作y＝sinu，u＝－2x＋的复合函数，

3π

则yx′＝yu′·ux′＝cosu·(－2)＝－2cos(－2x＋)

3＝－2cos(2x－)；

3

(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数， 则yx′＝yu′·ux′＝10u·ln10·2＝(ln100)102x＋3.

反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．

π