2009年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）试题及点评

由A具有性质P可知，

anak??A?k?1,2,3,?,n?.

又

anananan?anan?1anan?1???ana2ana2ana1ana1，所以

anan?1,anan?1?a2,?,ana2?an?1,ana1?an，

从而

??????1?a2???an?1?an，

即an(a1?1?a2?2???an?1?1?an?1)?a1?a2???an?1?an， 所以

a1?a2???ana1?a2???an?1?1?1?an.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n?5时，有

a5a4?a2,a5a3?a3，即a5?a2a4?a3，

2因为1?a1?a2???a5，所以 a3a4?a2a4?a5，故 a3a4?A， 由A具有性质P可知，

a4a3?A.

2由a2a4?a3，得

a3a2??a4a3?A，且1?a3a2?a3，所以

a4a3?a3a2?a2，

所以

a5a4?a4a3?a3a2a2a1?a2，即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1，公比为a2成等比数列.

.k.s.5.

本题主要考查集合的意义、等比数列的定义，考查逻辑思维能力、推理论证能力和式子变形能力，具有较浓的创新味，充满了思辨性．本题属于难题，困难在于第（Ⅱ）、第（Ⅲ）问的推理论证．无论是（Ⅱ）中等式的证明，还是（Ⅲ）中等比数列的判定，都需要根据给定集合所具有的性质P的含义，对相关元素进行恰当的配凑，并运用化归与转化的思想、对所得的式子有目的地进行变形，才能逐步获得结论．而这些都需要具有较强的综合分析和逻辑思辨的能力

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试卷综合解读及评析

一、总体评价

2009年《北京卷考试说明》（理科）（以下简称2009年考试说明）中明确指出：（数学科）命题的指导思想是“有助于高等学校选拔新生，有助于中学实施素质教育，有助于培养学生的创新精神与实践能力”．在这一命题思想指导下，提出了“数学科高考旨在考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力”的考核目标．2009年北京高考数学理科试题（以下简称2009年北京理科卷）很好地坚持了上述命题的指导思想，遵循了上述命题的原则和要求，在全面考查基础知识和基本技能的同时，突出了重点章节、重点板块的考查．结合具体的知识内容，着意检测了学生数学思想和方法掌握的程度以及相关的能力水平．2009年北京理科卷还命制了一定数量的创新型试题，以此考查学生的创新意识．纵观全卷，试题平和稳定，似曾相识，稳中有变，推陈出新．为中学数学教学特别是高考数学复习中真正立足教材，重视双基，跳出题海，提高素质具有很好的导向作用．

二、突出特点

１．全面检测双基，突出主干知识

2009年考试说明中要求“对基础知识的考查，既全面又突出重点”．遵照这一要求，2009年北京理科卷，一方面对高中各章知识都作了较为全面的考查，另一方面突出了重点知识重点考查的命题要求．纵览理科试卷，主干知识构成了试题的主体．全卷对高中理科数学教材各章所涉及的概念、性质、公式、法则、定理等等都作了较为全面的检测．共考查了98个知识点，占理科知识点总数的72%，突出考查了函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、圆锥曲线方程、直线平面简单几何体、概率与统计、导数九大重点章节的知识．例如第3．、9．、11．、13．、18．题都涉及了对函数的考查；第5．、15．题，都涉及了对三角函数的考查；第8．、(12)、19．题，都涉及了对解析几何的考查；第14．、20．题，都涉及了对数列的考查；第4．、16．题，都涉及了对立体几何的考查；第11．、18．题都涉及了对导数的考查，等等．

２．注重知识交汇，考查数学能力

2009年考试说明中指出，考查中要“注重学科的内在联系和知识的综合”．2009年北京理科卷正是按照这一要求命制的．试题将重点知识整合成了“三角函数与三角变换、数列集合与不等式、解析几何与平面向量、空间图形与平面图形、概率统计与计数原理、函数导数

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方程与不等式”六个知识板块，并将这六个知识板块聚焦成六个知识网络交汇点，在每一个知识网络交汇点处分别设计了一道解答题．

例如第15．，围绕三角形中的三角函数问题，试题把同角三角函数之间的关系、两角差的正弦公式、正弦定理、三角形面积公式结合在了一起，既考查了三角函数的有关知识，又考查了三角变换的重要技能；第16．题，除了涉及直线和平面垂直的判定、直线和平面垂直的性质、直线与平面所成的角、二面角及其平面角等众多立体几何知识以外，还涉及了三角形中位线定理、等腰三角形的判定、锐角三角函数等平面几何知识；第17．题，尽管核心内容是概率与统计，但处理问题的过程中用到的主要工具却是分步计数原理、分类计数原理以及组合数的计算公式；第18．题是一道既常规又典型的试题，试题为我们展示了一张函数、导数、方程、不等式以及直线纵横交错的知识网，很好地体现了在知识网络交汇点处设计试题的命题要求．第19．题是一道解析几何题，从题面看涉及了双曲线的标准方程、离心率、准线方程、双曲线参数之间的关系、圆的方程以及圆的切线方程、直线与双晲线的位置关系等众多纯解析几何知识，但在证明?AOB的大小为定值的过程中，标准答案提供的是利用两向量夹角公式以及两向量垂直的充要条件来判断的，平面向量的应用体现在解题的具体过程之中，这种解析几何与平面向量“隐性交汇”的试题，更能考查学生思维的灵活性和深刻性，对于检测学生的数学能力起到了十分重要的作用．当然，用解析几何知识再利用解三角形的方法也能作出判断，但其过程要比利用向量工具复杂得多．标准答案之所以提供向量解法，恰恰体现了命题者关注“解析几何与平面向量‘隐性交汇’”这一独特的命题视角．第20．题的第（Ⅱ）、（Ⅲ）两问是数列与不等式的交汇问题，而要解决第（Ⅱ）、（Ⅲ）两问，必须考虑所给数集具有的性质P．数列与不等式的交汇似乎已众所周知，但数列与集合综合考查还是较为鲜见的，这说明随着高考命题研究的逐步深入，知识网络交汇点也必将开发出新的空间．

３．强化数学思想，发展理性思维

数学思想是数学知识的精髓，是架设在知识与能力之间的一座桥梁．2009年北京理科卷命制了不少考查数学思想的试题．例如第(8)、(10)、13．、19．题考查了函数与方程的思想；第(8)、(10)、(12)、13．、18．题考查了数形结合的思想；第7．、13．、17．、18．题考查了分类与整合的思想；第12．、16．、20．题考查了化归与转化的思想；第(2)、(10)、(14)题考查了特殊与一般的思想；第9．题考查了有限与无限的思想；第17．题考查了或然与必然的思想．一份试卷20道试题中有13道试题考查了数学思想，并且考遍了所有的七种数学思想，这足以说明北京理科卷对数学思想考查的力度之大．

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事实上，数学思想蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程之中．对数学思想的考查，必然要与数学知识的考查结合进行，并且和题型有关．一般说来，由于选择题和填空题的解答具有“只需写出结果而无需写出过程”的特点，这为考查数形结合的思想、特殊与一般的思想、函数与方程的思想提供了方便，而在解答题中，需要写出必要的求解过程，对推理论证、式子演算等既有思维层次的要求，又有推理严密的要求，因此更多地是考查化归与转化的思想、分类与整合的思想．

４．重视学科特点，体现学科本质

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具．高度的抽象性、思维的灵活性和应用的广泛性是数学学科的基本特点．高考中对双基和能力的考查必将体现数学学科的上述特点，反映在试题中，通常表现为概念的深刻性、思辨的逻辑性、量化的凸显性、解法的多样性．2009年北京理科卷较好地体现了这一特点．例如第18．题，涉及了幂函数的导数、指数函数的导数、复合函数的导数、导数的运算法则、函数在某点处的函数值、导数的几何意义、曲线在某点处的切线、函数单调性的判断、函数在某区间内单调递增的意义、不等式的求解等众多概念．尽管这些都是课本中原有的已经学过的概念，然而，只要其中有一个概念未能很好理解，那么就不可能使问题得到圆满解决．又如第8．题中关于“

点”的定义以及第20．题中关于“数集A具有性质

P”的定义，这些都是课本中原先没有的从未见过的新概念．要解决这类问题，必须读懂

并领悟这些全新的概念．由此看出，无论是原有概念还是全新概念的理解和掌握，都是解决问题的关键．这类试题的命制，既考查了概念的深刻性，又考查了思辨的逻辑性．

５．关注数学应用，检测实践能力

2009年考试说明中在关于能力的考查要求中指出：要能够解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．根据这一要求，北京理科卷第17．题，以某学生在上学路上经过4个路口时是否遇到红绿灯为背景材料，命制了一个概率与统计问题．通过相互独立事件的概率、几何分布、离散型随机变量的分布列和期望的求解，有效地考查了学生分析和解决实际问题的能力.

６．适度彰显创新，考查潜在能力

2009年考试说明把“有助于培养学生的创新精神”作为命题的指导思想之一，据此命制了一定数量的创新型问题，例如第8．题、第14．题、第20．题（比2008年增加了一道）都给人以耳目一新的感觉．第8．题和第20．题主要新在全新概念的定义上，第14．题主

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