数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (74)

利用主成分分析法建立多元回归模型

一 问题重述

对某种商品的销量y 进行调查，并考虑有关的四个因素：x1 —居民可支配收入，x2x3 －该商品的社会保有量，x4 －其它消费品平均价格指数。－该商品的平均价格指数，

表16是调查数据。利用主成分方法建立y 与x1,x2,x3,x4的回归方程。

二 问题分析

该问题要求我们利用主成分分析法建立y与x1,x2,x3,x4的回归方程，首先我们从题目条件可知该问题属于回归分析方面的问题。因此，我们先从题目所给的数据入手，首

先对原始数据进行标准化处理，即利用标准化公式将观测值化为标准值；接着我们求出相关系数矩阵，从而求出该相关系数矩阵的特征值和特征向量；然后我们得到主成分，从而得到主成分回归方程；最后根据以上过程建立回归模型。

三 模型假设

四 符号说明

x*:标准化数据 y*:标准化数据 xij:每次的观测值

xj:表示均值

R:相关系数矩阵 rij：xi与xj的相关系数

?i:特征值 ?i:特征向量

五 模型建立与求解

5.1对数据进行标准化处理

标准化处理[1]:所谓标准化处理，是指对数据同时进行中心化——压缩处理，即

x?*xij?xjsj??,i?1,2...,n;j?1,2,...,m

10,然后利用公式将x1,x2,x3,x4的n次观测值分别记作xi1,xi2,xi3,xi4,i?1,2,...,x*?xij?xjsj,i?1,2...,10;j?1,2,3,4；

1

?1101n?其中xj??xij,sj???xij?xj??,j?1,2,3,4;根据以上公式得到标准化数据。

10191???2同理，将y的观测值也进行标准化处理，并记作y*

5.2根据标准化数据计算相关系数矩阵R

相关系数矩阵R=?rij?m?m

rij??xk?1n*ki*?xkjn?1(i,j?1,2,3,4),其中rii?1,rij?rji,rij是xi与xj的相关系数。

5.3根据相关系数矩阵计算特征值和特征向量

编写相应的程序，利用matlab7.0.1运行程序（程序见附录）求的相关系数矩阵的4个特征值分别为?1?3.9438,?2?0.04,?3?0.0126,?4?0.0036

它们对应的四个标准正交化特征向量分别为

?0.5016??0.4998???1???0.498????0.5007?

??0.2371??0.4926???2????0.7069????0.4488??0.5788???0.6105???3????0.3683????0.3958??0.5976??0.3673???4????0.3417?????0.6255?

****z1?0.5016x1?0.4998x2?0.498x3?0.5007x4因此求得的四个主成分分别为：

****z2??0.2371x1?0.4926x2?0.7069x3?0.4488x4z3?0.5788x?0.6105x?0.3683x?0.3958x*1*2*3*4

****z4?0.5976x1?0.3673x2?0.3417x3?0.6255x4

从而求得前两个主成分的贡献率为

????i?1i?142i?0.9959，所以我们剔除第三个和第四个

i主成分，只取第一个和第二个主成分。

综上得到关于主成分的回归方程为y*?0.5003z1?0.1515z2

****x18?0.175x24?0.356x32?0.182x45化为关于标准数据的回归方程 y*?0.286

最后得到关于观测值的

y??16.8846?0.0342x1?0.0938x2?0.1195x3?0.1236x4

并且该模型的剩余标准差为0.5415

回归模型为

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参考文献

[１] 司守奎，数学建模算法与程序：国防工业出版社，2011年8月1日。

附录

利用matlab7.0.1编写的程序 clc,clear load sn.txt [m,n]=size(sn);

X0=sn(:1:n-1);y0=sn(:,n); r=corrcoef(x0); xb=zscore(x0); yb=zscore(y0); [c,s,t]=princomp(xb) Contr=cumsum(t)/sum(t)

Num=input(‘qingxuanzezhuchengfendegeshu:’) Hg=s(:,1:num)yb hg=c(:,1:num)*hg

hg2=[mean(y0)-std(y0)*mean(x0)./std(x0)*hg,std’(y0)*hg’./std(x0)] fprintf(‘y=%f,hg2(1)); for i=1:n-1

fprintf(+%f*x%d,hg2(i+1)，i)； end

fprintf(‘\\n’)

rmse2=sqrt(sum((x0*hg2(2:end)’+hg2(1)-y0).^2)/(m-num-1))

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