2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。最后利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。对于此问题，同样类似于问题一，先根据已知的实际储油罐的几何图形，在合理假设的前提下建立模型，求解出实际储油罐变位后油品的容积与油面的高度、纵向倾斜角以及横向偏转角之间的函数关系表达式，并应用已知的数据确定模型中的变位参数，进而对变为后的油罐的罐容表进行标定，最后分析与检验模型正确性与可靠性。

三、 基本假设

1) 假设一：忽略储油罐的罐壁的厚度；

2) 假设二:不考虑油罐进油出油过程中压力和温度对油品高度和容积的影响； 3) 假设三：监测过程中只存在油罐位置的变化，不考虑油罐损坏渗漏等其它问

题；

4) 假设四：油浮子所在的位置始终垂直于罐底；

5) 假设五：不考虑油品对罐壁的粘附，即注入的油品全部留到储油罐的底部； 6) 假设六：实验测数据的时间范围内，没有记录数据的时刻储油罐既没出油，

又没进油；

四、 符号说明

a----------椭圆的短半轴长； b----------椭圆的长半轴长；

?----------油罐的纵向倾斜角度； ?----------油罐的横向偏转角度；

h-----------罐容表测得的油面的高度； v-----------油罐中油品的体积； L----------油罐底总长； ? ----------误差；

R------------球冠所在球的半径； L-------------储油罐的长度；

L'----------球冠所在球的球心到油面的距离。

五、 模型的建立与求解

1.3. 模型一（罐容表的标定模型）的建立 1.1.1. 模型一概述

此模型用来解决罐容表的标定问题。根据已知的小椭圆形储油罐的几何图形 应用积分学的知识求解出储油罐的容积与油罐变位后所读取的油品的高度之间的函数关系式。由于油桶的形状为椭圆柱体，在求解体积的表达式时，可以将油

桶的椭圆面看作底面，而油桶的长度看作高，这样可以相对简单地求解出表达式，进而应用表达式对不同高度下的油品的容积进行标定。 1.1.2. 模型一的运用与求解

分析小椭圆形储油罐的几何图形，

当油罐发生倾斜，且倾斜角度为?=4.10时，将椭圆面看作油罐的底面，以倾斜后的图像为标准建立直角坐标系，a所在的直线为x轴，b所在的直线为Y轴，靠近油浮子一侧的椭圆为底面，建立三维直角坐标系。设a=1.78/2=0.89m,b=1.2/2=0.6m。倾斜时，由于油品是液体，根据油罐内油品容积的不同，油品在油罐内会显现出不同的形状，具体分为三种情况，如图：

图（1） 首先图（2） 考虑图（3） 图（1）

所示的情况，Z 即

0

油位探针 注油口 出油管 1.2m C 油浮子 1.2m 油 y α 0.4m (a) 2.05m浮标位置 水平线 1.78m A 小椭圆油罐正面示意O B (b) 小椭圆油罐截面X

设倾斜角为?，油罐总长为L，油浮子到油罐椭圆面的最近距离为L1,油罐底的椭

(c)小椭圆储油罐的坐标系建立

x2y2圆方程为：2?2?1，油浮子测得的高度h，油面最高点距离油罐底

abAB=h?L1*tan?，且x=b-h-L*tan?。在被积区域?ABC里，高BC?AB/tan?，

1被积三角形面积为：S?*BC*AB?(h?L1?tan?)2/2?tan?，被积表达式为

222dv??sdy，积分区间为：y?[?b(1?x2),b(1?x2)]，积分表达式为：

aa对于图（2），即2.05*tan(?)

即实际体积可表示为：v?vABE?vCDE，即为所求。而vCDE的求解过程与vABE的方

A C vCDE实际油量法相同，求得hCDE=h-2.45*tan(?)，解得。 虚拟部B 对于图（3），即1.2-0.4tan(?)

E 为：v??abL??)a2x2?b(1?2)ab(1?x2（D）小椭圆形储油罐的截面图

((h?L1?tan?)2/2?tan?)dy,h?1.2?0.4tan?。

综上得到储油罐发生纵向倾斜时，油品的容积与油面高度的表达式为：

?b(1?x2)a2((h?L1?tan?)2/2?tan?)dy,0?h?2.5?tan??2???b(1?x2)a?x2?b(1?x2)b(1?)?v???a22((h?L1?tan?)2/2?tan?)dy??a22(((h?2.45?tan?)?L1?tan?)2/2?tan?)dy,2.5?tan??h?1.2?0.4?tan?xx?b(1?2)??b(1?a2)a?x2?b(1?2)2??abL??ax2((h?L1?tan?)/2?tan?)dy,h?1.2?0.4tan??b(1?2)?a? 其中x=b-h-L*tan?。

1.1.3. 模型一结果

利用油罐倾斜时的表达式，应用MATLAB编程（程序见附件一），计算得到每隔一厘米即10毫米时每个高度对应的油品的容量，进而对罐容表进行标定。标定结果为： 高度（mm） 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 容积（L） 7.04 13.49 21.39 30.64 41.18 52.96 高度（mm） 70.00 80.00 90.00 100.00 110.00 120.00 容积（L） 65.96 80.16 95.56 112.13 129.90 148.84 高度（mm） 130.00 140.00 150.00 160.00 170.00 180.00 容积（L） 168.96 190.26 212.75 236.42 261.28 287.34

190.00 200.00 210.00 220.00 230.00 240.00

容积（L） 314.59 343.04 372.70 403.57 435.65 468.94 高度（mm） 250.00 260.00 270.00 280.00 290.00 300.00 …… …… …… …… …… …… (具体标定结果见附件二)

高度（mm）

1.4. 模型二（储油罐变位对罐油表影响模型）的建立 1.1.4. 模型二概述

分析储油罐变位后对罐油表的影响，即分析当储油罐位置改变后，利用原始的罐油表测得的容量值与利用校准后的罐油表测得的容量值的误差大小。所以本模型需要建立储油罐不发生变位时油品的容积与油面高度的表达式，然后综合模型一的结果，比较在相同高度下，油品的容量差异，计算误差。 1.1.5. 模型二的运用与求解

在储油罐的位置不发生倾斜时，观察（b）图，设a=1.78/2=0.89m,b=1.2/2=0.6m。以a直线为x轴，b所在直线为Y轴，靠近油浮子一侧的椭圆的中心为坐标原点，建立二维直角坐标系并对椭圆底面积分：

x2y2截取的椭圆截面的表达式为：??1，由积分的概念，体积元素220.890.6ahx2y2dv?s(y)dy，且由s(y)?2xL，2?2?1， x?ab2?y2，v?2L?b2?y2dy，

b?bbabH?b?b整理得到储油罐没有发生变位时，罐容表显示的体积v与油位高度H的关系为：

hv?3532.1[(h?600)h(1200?h)?360000arcsin(?1)?175000?]/1000000。在此H

600单位为mm, v单位为L。

定义误差的表达式为??（变位?相同位置处不变位）/不变位*100% 选取足够多的数据，计算每个高度下的误差，进而求出这些数据的平均误差，来表示总体的误差。 1.1.6. 模型二结果 油位高度 不变位的油量 变位油量 影响? 856.29 2993.177 2837.329 5.2068% 867.60 3036.304 2885.287 4.9737% 880.06 3083.294 2938.148 4.7075% 892.92 3131.185 2992.736 4.4216% 904.34 3173.166 3041.238 4.1576% 917.34 3220.294 3096.48 3.8448% 929.90 3265.121 3149.884 3.5293% 941.42 3305.592 3198.893 3.2278% 954.60 3351.096 3254.996 2.8677% 968.09 3396.74 3312.455 2.4814% …… …… …… …… 具体数据见附件三。 通过表格所列数据，得到当倾角为?=4.10时，罐体变位对罐容表的平均影响

面图