2018年高考真题数学（江苏卷）含解析

2018年高考数学真题解析

二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况. 19. 记与

分别为函数

的导函数．若存在

，满足

且

，则称为函数

的一个“S点”．

与与

，

不存在“S点”； 存在“S点”，求实数a的值；

．对任意

，判断是否存在

，使函数

与

在区间

内

（1）证明：函数（2）若函数（3）已知函数

存在“S点”，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）a的值为

（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．

【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合 “S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.

2

详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．

由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得

，此方程组无解，

因此，f（x）与g（x）不存在“S”点． （2）函数则

，．

，

设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得

，即

，（*）

得，即，则．

当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．

因此，a的值为．

13

2018年高考数学真题解析

（3）对任意a>0，设因为

所以存在∈（0，1），使得

，令

．

，且h（x）的图象是不间断的，

，则b>0．

函数，

则．

由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得

，即（**）

此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”． 因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．

点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 20. 设（1）设（2）若值范围（用

表示）．

．

是首项为，公差为d的等差数列，

，若

对，证明：存在

是首项为，公比为q的等比数列． 均成立，求d的取值范围； ，使得

对

均成立，并求的取

【答案】（1）d的取值范围为

（2）d的取值范围为

【解析】分析：（1）根据题意结合

，证明见解析。

并分别令n=1，2，3，4列出不等式组，即可解得公差d的取值

，根据条件易得左边不等式恒成立，再利

范围；（2）先根据绝对值定义将不等式转化为

用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差d的取值范围.

14

2018年高考数学真题解析

详解：解：（1）由条件知：因为即

即11，1d

对n=1，2，3，4均成立，

对n=1，2，3，4均成立， 3，32d5，73d

．

． 9，得

．

．

因此，d的取值范围为（2）由条件知：若存在d，使得即即当因为从而

，则，

（n=2，3，···，m+1）成立，

，

时，d满足

， ，对对的最大值和数列

均成立． 均成立． 的最小值（

）． ，

，从而

时，数列的最大值为，当x>0时，

．

，

单调递增，

． ．

因此，取d=0时，下面讨论数列①当当因此，当故数列②设所以

时，时，有

单调递减，从而

当时，，

因此，当故数列

时，数列

的最小值为

．

单调递减，

15

2018年高考数学真题解析

因此，d的取值范围为．

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

数学Ⅱ(附加题)

【选做题】本题包括四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. [选修4—1：几何证明选讲]

P为AB延长线上一点，如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，过P作圆O的切线，切点为C．若求 BC 的长．

，

【答案】2

【解析】分析：先连圆心与切点得直角三角形，求出PO，即得B为中点，再根据直角三角形斜边上中线长等于斜边一半的性质得结果.

详解：证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC． 又因为PC=所以OP=

，OC=2，

=4．

又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2． 点睛：本题考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力. 22. [选修4—2：矩阵与变换] 已知矩阵

．

16