排列与组合

3.、 排列数公式：Pnm?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)=

n!

(n?m)!Pnn?n?n?1??n?2??2×1=n！

注：（1）规定0！=1

（2）排列问题一定与元素的顺序有关

二、组合

1、定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合。

2、组合数：从n个不同元素中取出m个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同

m元素中取出m个不同元素的组合数，记作Cn。

Pnmn!3、组合数公式：C?=

m!m!(n?m)!mnmn?mmmm?14、组合数的性质：Cn ?Cn,Cn?1?Cn?Cn0注：（1）Cn?1n Cn =1

(2 ) 组合问题与元素的顺序无关

【典例解析】 【例1】计算：

4！-P52C34

【分析】这是关于排列数、组合数公式的计算问题。 【答案】1

2x?1【例2】（2003年高考题）若C8?C8x?3，则x的值为（ ）

A． 1或2 B． 3或4 C． 2或4 D． 1或3

mn?mmm【分析】：这是一个组合数性质2的问题，Cn和Cn都成立！ ?Cn?Cn【答案】

2x?1解：因为C8?C8x?3

所以2x-1=x+3或2x-1+x+3=8 则x=4 或x=2 故选C． 【方法点拨】

mn?mmm根据组合数的性质Cn和Cn满足等式的x的值应有两个。 ?Cn?Cn【变式训练】

x1、（2001年高考题）C5?1是“x=5的（ ）

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．非充分且非必要条件 (答案：B)

2xx?72、若C25，则x= 。 ?C25(答案：7或6)

【例3】(2002年高考题）从7位班委中

（1）选出正副班长各一人，共有种不同的选法？ （2）选2人参加某项活动，共有种不同的选法？ 【分析】这是一个简单的排列、组合的应用问题。 【答案】（1）42；（2）21。 【例4】（2002年高考题）参加世界足球比赛共有32支球队，分成8个小组，每个小组4支球队进行小组赛，小组比赛进行的方式是：每个小组的每支球队之间都要进行一场比赛，那么小组赛阶段总共会进行的比赛场数是（ ）

A． 24 B． 32 C． 48 D． 54 【分析】小组赛每两支球队对应一场比赛，每个小组的比赛场数实质上是一个4选2的组合问题。

2【答案】解：因为每个小组内部赛C4=6场

2所以8个小组共比赛8C4=8×6=48场

故选C．

【方法点拨】排列问题一定与元素的顺序有关，组合问题与元素的顺序无关。 【变式训练】

95961、计算 （1）P32 +4！ （2）5C100-96C100

2、三年级计算机1班七位要好的同学，毕业后约定， （1）互通一次电话，共需打多少次不同的电话？ （2）互写一封信，共需写多少封不同的信？ 3、（2001年高考题）用数字0、1、2、3、4组成不含重复数字的自然数，其中大于10000的奇数共有多少个？ 答案：1、（1）30,(2)0; 2、(1)21,(2)42; 3、36。

【同步精练2】

一、选择题（每题7分）

1、（2003年高考题）由数字1、2、3、4、5这5个数字组成没有重复数字的三位数，那么在这些三位数中，是奇数的共有（ ）

A． 120 B． 48 C．36 D．24 2、（2008年高考题）为迎接今年的北京奥运会，某学校组织班级单循环篮球比赛，全校共有6个班，每班组织一个篮球队，每个队与其他各队比赛一场，则共需比赛的场数是（ ）

A．12 B． 15 C．20 D．30

3、 从10名运动员中选出3名参加比赛，则不同的选法有（ ）

33A．P10 B．C10 C．10 D． 3

310

m4、与Cn 相等的式子是（ ）

A．

n!m!n!n! B． C． D． m!n!(n?m)!m!(n?m)!(n?m)!5、.若n∈N,n＜55, 则乘积（55-n）(56-n)、、、（69-n）等于（ ）

55?n151514PPPP69?n69?n55?n69A． B． C． D．?n

6、把10名学生分成两组，一组6人，一组4人，不同的方法有（ ）种

4464646CC?CCCCP10101010101010A． B． C． D．

二、填空题（每题8分）

2xx?71、若C25，则x= 。 ?C25x562、已知Cx?2?Cx?1?Cx?1，则x= 。

3.、 用排列数符号表示6?7?8?9?10?11? 三、解答题 1（10分）、 用0、1、2、3、4、、、9这十个数字组成五位数，其中奇数有多少个?

2（12分）、某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手。从中选出5名参加一项比赛，那么，最多选一名种子选手的不同选法有多少种？

3（12分）、从5个男同学和4个女同学中各选出2人，

（1）组成学习互动小组，有多少种选法？

（2）担任不同学科的科代表，有多少种不同的选法？

第三节 排列、组合的应用

【知识要点】

1、能进一步区分排列问题与组合问题；

2、较熟练地掌握解决简单的有限制条件的排列与组合问题的常见方法。 【典例解析】

【例1】5名同学照相，下列情况各有多少种不同的排法？

（1）站成两排照相 （2）（2005年高考题）站成一排，甲必须站在最中间 （3）（2004年高考题）站成一排，甲、乙二人相邻而站 （4）站成一排， 甲、乙不能相邻而站 （5）站成一排， 甲必须站在乙的右边 （6）站成一排， 甲不站排头，乙不站排尾

【分析】此题是典型的排列问题，其中（2）--（6）小题应认真分析特殊元素在排列中的位置关系及排法不重不漏。

【答案】解：（1）5人进行排列，故共有P55=5!=5?4?3?2?1=120种

（2）因为甲已经站在指定位置上，剩下的4人进行排列，故共有P44=4！=4?3?2?1=24种

（3）用“捆绑”法把甲、乙看作一个整体，与其它3人进行的全排有P44种，甲、乙二人的全排有P22种，故共有P44P22=48种

（4）解一：甲、乙两人除外，剩余的3人进行的全排有P33种，再用“插空法”，3人产生4个空位，甲、乙两人插定的排法有P4种，故共有P33P4=6?4?3=72种

解二：先不管甲、乙二人是否相邻，5人进行全排，有P55种，再减去甲、乙二人

相邻后的情况P4P2, 共有P55?P44P22=120-48=72种

（5) 甲站在乙的右边与左边的排法一样多，故甲站在乙的右边的排法有

422215P560种 2（6）解一：5人的全排中减去甲排头和乙排尾的方法，由于甲排头且乙排尾的排法被重

543复减掉，故共有P5?2P4?P3 =78种

解二：由于甲不站排头，同时考虑乙不站排尾，可将甲的站法分成两类：甲站排尾

和站在中间，第一类：甲站排尾，则5人共有P4种不同的排法；第二类（分为三步）：甲站在中间的排法有P31种，此时乙也有P31种站法，其它3人的全排有P33。故第二类有P31P31P33113种，所以共有P44?P3P3P3 =24+54=78种

4【例2】用0，1，2，3，4五个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？