2020年湖南省长沙一中等八校联考高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（含答案解析）

∵

故当a≥0时，

，∴H（a+2）≤H（0）=ln2-1＜0，

对x∈（a+2，+∞）恒成立…（10分）

②若（x+2）（x-a2）＞0对x∈（a+2，+∞）恒成立，则a+2≥a2，∴a∈[-1，2]…（11分） 由①及②得，

．

对x∈（a+2，+∞）恒成立，

故存在实数a∈（-2，+∞），使得且a的取值范围为

解析：（1）利用导数求出

…（12分）

的单调区间及最值，结合图象即可判定；

（2）构造函数H（x）=g（x）-x-4a，对该函数在∈（a+2，+∞）的最大值进行分类求解，只需最大值小于0即可．

本题考查了函数的零点的个数判定，及函数不等式恒成立时，参数取值范围的求解方法，属于难题．

22.答案：解：（1）由题意得点A的直角坐标为

则直线l的普通方程为．

由ρsin2θ=4cosθ得ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x． 故曲线C的直角坐标方程为y2=4x． （2）设直线DE的参数方程为

，将点A代入得，

（t为参数），

代入y2=4x得． 设D对应参数为t1，E对应参数为t2． 则，，且t1＞0，t2＜0． ∴

．

解析：（1）求得A的直角坐标，代入直线l的参数方程求得a，进而得到l的普通方程；由极坐标和直角坐标可得曲线C的直角坐标方程；

（2）求得直线DE的参数方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．

本题考查直角坐标和极坐标的关系，以及参数方程和普通方程、极坐标方程的互化，考查直线方程和抛物线的联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题． 23.答案：解：（1）当a=2时，f（x）=3|x-1|， 由f（x）≤9得|x-1|≤3，由|x-1|≤3得-3≤x-1≤3， 解得：-2≤x≤4，

故a=2时，关于x的不等式的解集是{x∈R|-2≤x≤4}； （2）①当a＞2时，＜2a-3，

第17页，共18页

f（x）=，

故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增， 故f（x）min=f（）=-3， 由题设得-3≥4，解得：a≥； ②当a＜2时，＞2a-3，

f（x）=，

故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增， 故f（x）min=f（）=+3， 由题设得-+3≥4，解得：a≤-， 综上，a的范围是（-∞，-]∪[，+∞）．

解析：（1）代入a的值，解绝对值不等式，求出不等式的解集即可；

（2）通过讨论a的范围，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．

第18页，共18页