数值分析例题1-9 - 图文

例1-1要使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？ 解：设取n位有效数字，有定理1，?*??10?n?1。r2a1

由于20?4.4,知a?4,故只要取n?4,就有1 ??3?3??0.125?10?10?0.1%r

即只要对20的近似值取4位有效数字，其相对误差限就小

于0.1%。

例1-2若电压V?220?5V，电阻R?300?10?,

求电流I 并计算其误差限及相对误差限。

220

解：I???0.7333(A) 300 ??????V?(R)?R?(V)?? ?(I)??2（R）

220?10?300?5??0.0411(A) 90000

所以I?0.7333?0.0411(A)

0.0411 ???r(I)??6% 0.7333

例1-3已测得某场地长 l 的值为 l?=110 m，宽d?=80m,已知l-l?0.2m ，

d-d?0.1m。试求面积 s?ld 的绝对误差限与相对误差限。

解： ??(s?)?l???(d?)?d???(l?) ?110?(0.1)?80?(0.2)?27(m2) ?????(s)?(s)?? ?r(s)????? sld

27

??0.31% 8800

**

* ??r

?1例1-4 设x?0,x的相对误差为?，求lnx的误差。1解： lnx-lnx?(x-x),即有x e(lnx)?e(x)?? 进而有?(ln(x))??。

例1-5计算I?e?1?10xnexdx(n?0,1,)并估计误差。(n?1,2,)解：分部积分公式In?I?nIn?1I0?e?1?10exdx?1?e?1当初值取为I0?0.6321?I0时法一：（A）方法一分析： 计算结果表明，各步计算的误差En?In?In满足关系En??nEn?1值不稳定的。n(n?1,2,?),易得En?（?1）n!E0,这说明?I0?0.6321??In?1?nIn?1(n?1,2,?)I0有误差E0,In就是E0的n!倍误差。它表明计算公式（A）是数当初值取为I9?0.0684?I9 （计算方法见书式（3.2））时法二：（B）方法二分析： ??计算结果表明，各步计算的误差En?In?In满足关系?易得E0???I9?0.0684???1?I?(1?In)?n?1n?(n?9,8,)1???En,这说明E0比En缩小了n!倍。n!

例2-1 已知f(?2)?2,f(?1)?1,f(0)?2,f(0.5)?3,试选用 适合的插值节点通过二次插值多项式计算f(?0.5)的

近似值，使之精度尽可能高。

x0??1，x1?0,x2?0.5,作二次插值 解：取节点 (x?0)(x?0.5)2l0??x(x?0.5) (?1?0)(?1?0.5)3 (x?1)(x?0.5)l1??2(x?1)(x?0.5) (0?1)(0?0.5) (x?1)(x?0)4l2??x(x?1) (0.5?1)(0.5?0)3 二次插值多项式为 L(x)?f(x)l(x)?f(x)l(x)?f(x)l(x)?l(x)?2l(x)?3l(x)2001222012 4f(?0.5)?L(?0.5)?1?l(?0.5)?2?l(?0.5)?3?l(?0.5)?2012 3 例2-2 给定函数值表

用二次插值计算 ln(11.25) 的近似值,并估计误差。

解：取节点x0?10，x1?11,x2?12,作二次插值

(11.25?11)(11.25?12) ln(11.25)?L2(11.25)??2.302585(10?11)(10?12)

(11.25?10)(11.25?12)

??2.397895(11?10)(11?12)

(11.25?10)(11.25?11)??2.484907?2.420426 (12?10)(12?11)

在区间[10,12]上lnx 的三阶导数 (2/x3) 的上限 M3=0.002, 可得误差估计式 M3R(11.25)?|(11.25?10)(11.25?11)(11.25?12)|2 3!

?0.0000781

例2-3(反插值法)已知单调连续函数y?f(x)在如下采样点处

的函数值

求方程f(x)?0在[1,2]内根的近似值x*,使误差尽可能小。分析：求解如上问题等价于求解x关于y的反函数问题。

解：对y?f(x)的反函数x?f?1(y)进行三次插值，插值多项式为

(y?y1)(y?y2)(y?y3) L3(y)?f?1(y0)(y0?y1)(y0?y2)(y0?y3)

(y?y0)(y?y2)(y?y3) ?f?1(y1)(y1?y0)(y1?y2)(y1?y3)

(y?y0)(y?y1)(y?y3)

?f?1(y2)(y2?y0)(y2?y1)(y2?y3)

(y?y0)(y?y1)(y?y2)?f?1(y3) (y3?y0)(y3?y1)(y3?y2)

?1.675?0.3271y?0.03125y2?0.01302y3

于是有

*?1x?f(0)?L3(0)?1.675

5

例2-4 证明(xi?x)2li(x)?0,其中li(x)是关于点

i?0

x,x,,x5 的插值基函数。 01

证明

55 222 (x?x)l(x)?(x?2xx?x)li(x)iiii

i?0i?0

5552

?xili(x)?2xixli(x)?x2li(x) i?0i?0i?0 555 ?xi2li(x)?2xxili(x)?x2li(x) i?0i?0i?0

?x2?2x2?x2?0

例2-5设f?C2[a,b], 试证：

f(b)?f(a)1f(x)?[f(a)?(x?a)]?(b?a)2M2

b?a8a?x?b

?。记号C2[a,b]表示在区间[a,b]上二阶导数连续f?(x) 其中M2?a?x?b

的函数空间.

?????????maxmax