2010年我校参加全国大学生数学建模竞赛获全国二等奖论文A题

190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 254.9 281.9 309.8 338.5 368.1 398.5 429.7 461.5 494 527.1 560.9 595.2 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 1371.9 1413.9 1456 1498.4 1540.9 1583.5 1626.3 1669.2 1712.2 1755.3 1798.5 800 810 820 830 840 850 860 870 880 890 900 2661.4 2703.6 2745.5 2787.2 2828.7 2870 2911.1 2951.8 2992.3 3032.5 3072.4 1100 1110 1120 1130 1140 1150 1160 1170 1180 1190 1200 3776.6 3805.3 3833 3859.8 3885.6 3910.3 3933.9 3956.1 3975.3 3995.5 4016.7 二、问题二的模型的建立与求解：

由题目可得，罐体变位后对标定罐容表的影响主要是罐体纵向倾斜和横向偏转。而要想根据罐内储油量与油位高度来建立数学模型，我们分为两种情况来讨论。

1只考虑纵向倾斜

由于在实际储油罐变位问题中我们利用了问题一的理论基础将储油罐分为5个部分，分别以储油罐左端面的最高点，圆柱右端面的最低点，两端球冠的顶点为边界，共4个分界点，如图9所示。由于储油罐在安放时是水平卧放的，经过土质的不均匀的压缩等原因导致出现纵向倾斜角度?，并且其?不会过大。所以我们假设??9.5?，根据此角度，通过计算可以定出油面上升时淹没4个分界点的顺序，其分段区域如图9中虚线所示：

图9分段区域示意图

在求储油罐的体积时，首先要求出两端球冠体的圆心坐标，为此，我们建立了球的俯视图，如图10所示，利用勾股定理求出该球冠的半径。 我们仍沿着平行于XOZ面切截球冠，从而得到该球冠的每个切面的表达式与该球半径的关系

R1?R2??0.625?y?

22假设球冠所在球的半径为R，则由图10可得：代入数据，R2??R?1??1.52。

计算可得球冠所在球的半径R=1.625m。

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图10俯视图

因为油的高度可以在图9的分段区域的任何位置，所以求储油罐内油的体积时就要分为5中情况考虑，分别如下：

图11切割后截面油面积示意图

(1)当油面即没有超过左端球冠的左顶点又没有超过右端面的下底点时，所截的切面如图11所示，此时h1?8tan?。我们在求此部分的体积时，利用了问题一的原理，把图从坐标z轴分为两部分，一部分是由球冠体的一部分组成，另一部分是由所截的圆柱体的一部分组成。设球冠体中油量的体积V11，圆柱体中油量的体积为V1。

在求图11的体积时，我们采用垂直于y轴并平行于z轴的切面去切图，用三重积分的方法来求其体积。由于截面截球冠部分投影到z轴的阴影部分为圆，

2R1为所以我们用圆的面积作为变量来求球冠的体积。假设所截的圆的半径为R1，变量。由勾股定理，得R2??R?1?y?2?R12，其中R=1.625m.即

R1?R2??0.625?y?，由于截面是水平的，且倾斜角度为?，所以截面方程

2z?h1?ytan?。每个切面的油面高度h11?h1?ytan?，所以切面的面积：

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S?2?h111.5?R1R12??z?1.5?dz。

2假设油面中轴线与左球冠相交点为A，其相对于Ｙ轴的坐标为y0，则由三重积分的原理得到球冠的体积为：

0h1?ytan?V??2?y0.111.5?R1R2??0.625?y???z?1.5?dzdy

22由于实际储油罐的主体为圆柱体，而问题一中的主体的椭球体，所以我们采用和问题一同样的方法求圆柱体的体积，表达式为：

V??21h1tan?02?h1?ytan?01.52??z?1.5?dzdy2

12V?V?V111即储油罐内油的总体积为：

图12第二种情况的示意图

(2)当油面在低于倾斜球冠的左顶点且高于圆柱右端面的最低点时所截的图如图12阴影部分所示。此时8tan??h1?1.5?tan?，储油罐内油量的体积可以分为三个部分讨论，分别为：左边球冠储油量体积V21,圆柱体部分的储油量体积

V22，右边球冠的储油量体积V23。

因为截面没有过左端球冠的左顶点，投影到z轴的切面也是圆的一部分，所以我们采用和第(1)种求球冠体积相同的方法，其表达式和V11相同，即：V21=V11。 在求圆柱体的体积时，其分析和问题一一样，只是这里被积函数不一样而已，因为这里的实际球罐是圆柱体，而第一问是椭球体，利用三重积分建立的表达式为：

V2??2?02Lh1?tan?01.52??z?1.5?dzdy

2在求右端球冠的储油量体积时，其方法和左端一样，也是采用垂直于y轴并平行于z轴的切面去切球体，同理，利用三重积分可以建立体积的表达式，如下所示：

V2??2?83y1h1?ytan?1.5?R2R2??y?7.375???z?1.5?dzdy

22即储油罐内的油量的总体积为：V2?V21?V22?V23

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图13第三种情况的示意图

(3)当油面在高于左球冠顶点低于右球冠顶点时所截的图如图13所示，此时：

1.5?tan??h1?1.5?9tan?。计算储油量的体积时和第二种情况一样，也是分成

三个部分讨论，即球冠体的左右边和圆柱体中储油量的体积分别为V31，V32，V33。 在建立体积的表达式时，此时由于左端油面超出了球冠的左端顶点，在计算这部分的面积时要分为两部分讨论，因为左端顶点到截点这段距离投影到z轴的阴影部分为圆的整体，所以这部分的面积的表达式和前面的不一样，同样用三重积分的方法，建立表达式为：

V???Rdy??2??1y013y0210h1?ytan?1.5?R1R12??z?1.5?dzdy

2求圆柱体的体积和前面的方法一样，建立的表达式为：

V3??2?03y12Lh1?ytan?01.52??z?1.5?dzdy

R2??y?7.35???z?1.5?dzdy

222同理，由于右端油面没有过右端最高顶点，所以其表达式和前面一样，即：

V3??2?8h1?ytan?1.5?R2所以储油罐内的油量的总体积为：V3?V31?V32?V33.

图14第5种情况的示意图

(4)当油面高于右球冠的顶点且低于圆柱左端面最高点时所截的图如图14所示，此时：1.5?9tan??h1?3.求储油量的体积仍采用分为三部分讨论。求左端球冠的体积时，其方法和第(3)问的一样，其表达式为：

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