2010年我校参加全国大学生数学建模竞赛获全国二等奖论文A题

由图像可知理论值大于实际数据，利用相对误差E?理论值?实际值实际值表示

它们的误差，计算出误差E的范围为：0.014866?E?0.034917。产生误差的原因可能是：

(1)油浮子，探针，以及油的出入管道的体积

(2)由于油的出入导致罐内压强改变，从而导致理论数据与实际数据的误差 (3)进出油环境温度不一致

5.1模型的建立与求解

如图以椭圆柱底线为Y轴，过椭圆心，垂直于Y轴的直线为Z轴，过椭圆左端面的最低点垂直于YOZ面为X轴，其空间坐标的圆心为椭圆左端面的最低点。当椭圆柱形油罐纵向倾斜时，我们将油罐的体积分为三个阶段。

图4 倾斜的椭圆柱

1.求每一截面的面积建立的坐标系如图4，设h1为椭圆柱端截面与油面的交线与Z轴的交点为A，则该点的坐标为A（0，h1）。油面与椭圆柱面的交线与Y

h1,0）轴的交点为B，则该点的坐标为B（。由A，B两点可得油面的方程为： tan?Z?h1?y?tan?

我们沿平行于XOZ面切截椭圆柱，则所切截面均为椭圆。

沿着平行于XOZ面切截椭圆柱，其横截面必为椭圆，其椭圆的表达式为：

x2?z?b???1 22ab2油面与z轴的交点即油面的高为h1，由图5和题意可知切截椭圆面中的油面所对应的Z轴坐标即为椭圆中储油的高，我们设其对应的高为h11则储油部分的

5

面积为：S?2?h110?z?b?11111???dz，由于Z?h?ytan?，所以 h?h?ytan? ?b?2

图5 变位椭圆柱的切截图

2.求每一对应液面高度的体积

2.1当油面与斜放的椭圆柱的下柱面相交时即：h1?Ltan?

h1此时我们对每一个切截面的油面积从y1?0到y2?进行积分，其积分结

tan?果即为储油量的体积。

V1??y2y1y22ah1?ytan?2ah112222????b?z?bdzdy?b?z?bdzdy ???0y10bb

图 6油面上升立体图

2．2当油面交于椭圆柱两端面时

即Ltan??h1?1.2此时油面方程不变仍为：z?h1?ytan?,

h11?h1?ytan?

同理对其切截面及积分可得其体积，但对油面积分的上限变为了L，即：

L2ah1?ytan?22??V2??b?z?bdzdy

0b?0

6

图7油面淹没左端面最高点示意图

2.3当油面对斜椭圆柱的上柱面和端面相交时如图7

即2b?h1?2b?Ltan?，由油面的方程可得：设其右端面油面的高为h1则

h1?h1?Ltan?

设h2为油面与右端面交线到椭圆柱顶部的高：

h2?2b?h1?2b?Ltan??h1

由图7可知上下两阴影部分的体积相等。

所以油的体积V3=椭圆柱体总体积-对右上角没油部分对称的左下部分的体积。

对其右上没油部分的体积由对称性可将h2代入式子V1中计算。又因为椭圆柱体的体积为?abL，所以V3??abL??代入h2?2b?Ltan??h1得

h2tan?02ah2?tan?22??b?z?bdzdy ?0bV3??abL??2b?Ltan??h1tan?02a2b?Ltan??h1?ytan?22??b?z?bdzdy

b?0设其油位探针的显示高度为h，则由几何关系可得h1?h?0.4tan?。将此关系带入V?f(h1)可得变位后探针高度与储油体积的关系如下 (1)当h?Ltan??0.4tan?时

y22ah??y?0.4?tan?22??V1??b?z?bdzdy

y1b?0（2）当?L?0.4?tan??h1?1.2?0.4tan?时

7

V2??L02ah??y?0.4?tan?22??b?z?bdzdy

b?0（3）当2b?0.4tan??h1?2b??L?0.4?tan?时

V3??abL??2b??0.4?L?tan??htan?02a2b??0.4?L?tan??h?ytan?22??b?z?bdzdy ?0b5.2椭圆柱体的储油罐的罐容表

在MATLAB的环境下计算油浮子的所显示的高度每改变1cm时的储油体积（即变位后的储油罐的罐容表）。其罐容表见表1。纵向变位时的数据拟合结果如 下。

5000实实理理际际论论数数数数据据拟合曲线据据拟合曲线 40003000200010000-1000 0200400600800100012001400

图8纵向变位时的数据拟合曲线 表1 椭圆柱纵向变位后的罐容表 油高(mm) 油量(L) 油高(mm) 油量(L) 油高(mm) 油量(L) 油高(mm) 油量(L) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

<=1.67 3.53 5.94 9.97 14.76 21.04 27.85 36.32 47.56 63.16 78.09 84.4 100.25 117.4 136.9 157.8 180.3 204 228.9 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 630.1 665.6 701.5 738 774.9 812.2 850 888.2 926.7 965.7 1005 1044.6 1084.5 1124.8 1165.3 1206.2 1247.2 1288.6 1330.1 8

610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 1841.8 1885.1 1928.5 1971.9 2015.4 2058.8 2102.3 2145.7 2189.1 2232.5 2275.8 2319.1 2362.3 2405.4 2448.4 2491.3 2534 2576.6 2619.1 910 920 930 940 950 960 970 980 990 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 3112 3151.2 3190.1 3228.6 3266.7 3304.4 3341.7 3378.5 3414.9 3450.7 3486.1 3520.9 3555.1 3588.8 3621.8 3654.2 3685.9 3716.9 3747.2