§7.2空间直角坐标系及向量运算的坐标表示

两向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和。

3．两非零向量夹角余弦的坐标表示式

?设a?{ax, ay, az }?，b?{bx, by, bz }均为非零向量，则

axbx?ayby?azbzax2

????a?bcosa(, b )????a?b。

2?ay2?az2?bx2?by?bz2例

????8．已知a?i?j?k????，b?3i?2j?2k??，求a·b???、cos(a, b)、(a)?b。

?解：a?{1, ?1, 1}??，b?{3, 2, ?2}，

??a·b?1?3?(?1)?2?1?(?2)??1；

????a?b cos(a, b)????a?b?112??32151；

?(?1)2?12??22?(?2)2????a?b?1??? (a)b17b。

例

????9．求在xoy平面上与向量a??4i?3j?7k垂直的单位向量。

解：a

????4, 3, 7?，

????设所求的单位向量为b?{ x, y, 0 }，则有 b ?1，a·b=0，

3?x??22???x?y?15 ???4??y????4x?3y?05?，∴b??3434?{ , , 0 }或b?{ ?, ?, 0 }。 5555

4．向量积的坐标表示

???? 设a?ax i?ay j?az k????，b?bx i?by j?bz k，则

???????? a?b?(ax i?ay j?az k)?(bx i?by j?bz k) ?????? ?axbx (i?i)?axby (i?j)?axbz (i?k)

???????aybx(j?i)?ayby(j?j)?aybz(j?k) ???????azbx (k?i)?azby(k?j)?azbz(k?k)9

????(aybz ?azby)i?(axbz ?azbx)j?(axby ?aybx)k，

?i?? 即a?b?axbx?jayby?kazbz。

?? 若a?{ax,ay,az}、b?{bx,by,bz}为两非零向量，则 ※

?a?ayaxaz?????∥b?a?b?0?bxbybz （其中bx, by, bz 都不为零。）

当bx, by, bz 中出现零时，仍用※式表示，但约定相应的分子为零，例如

例11．求以A(2, ?2, 0)，B(?1, 0, 1)，C(1, 1, 2)为顶点的三角形的面积。 解：由向量积的定义可知?ABC的面积S AB?12AB?ACax0?ayby?azbz，应理解为ax=0，

ayby?azbz。

?{?3, 2, 1}， AC?{?1, 3, 2}，

?i?j23?k AB?AC＝?3?1???1?i?5j?7k2={1, 5, ?7}，

52 S

?12AB?AC?121?5?(?7)222?3。

例12．求同时垂直于向量a??? 解：取c?a?i?i??，则c?a??{3, 6, 8}和x 轴的单位向量。 ）。

??，c? i（即c??x 轴??? c?a?i?j602?k802=31={0, 8, ?6}，

c

??02?(8)?(?6)?10，

10

? 与c平行的单位向量有两个：c??c43???{0, , ?}，（c?c55?{0, ?3?, }（-c554与c同向），

?? 或 -c?

与c反向）。

5．混合积的坐标表示

?设a?(ax,ay,az)?，b?(bx,by,bz)，c??(cx,cy,cz)，则

?i?? b?c?bxcx?jbycy?kbybz?czbzcz?aycybz?bxi?czcxbz?bxj?cxczby?k cyby??? 故 a?(b?c)?axcybxcxbzczbx?azcxbycy

axaybycyazbzczaxaybycyazbz?0cz 即 a?(b?c)????bxcx。

??? （1）三向量a,b,c???共面?[abc]?bxcx；

x2?x1y2?y1y3?y1y4?y1z2?z1z3?z1?0z4?z1（2）四点Mi(xi,yi,zi)(i?1, 2, 3, 4)共面?x3?x1x4?x1.

例13．已知不在一平面上的四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，求四面体ABCD的体积。

解：由立体几何知识可知，四面体的体积V等于以向量AB、

AC和AD为棱的平行六面体的体积的六分之一。因而 V?16[ABACAD]，

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AB AC AD?{x2?x1,y2?y1,z2?z1}， ?{x3?x1,y3?y1,z3?z1}，

?{x4?x1,y4?y1,z4?z1}，

x2?x1y2?y1y3?y1y4?y1z2?z1z3?z1z4?z1 ∴V??16x3?x1x4?x1。

上式的符号的选择必须与行列式的符号一致。

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