椭圆讲义最新

椭圆讲义

知识网络： 1．椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 －a≤x≤a －b≤y≤b 对称轴：x轴、y轴 对称中心：(0,0) A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) －b≤x≤b －a≤y≤a 范围 对称性 顶点 性质 轴 焦距 离心率 a，b，c的关系 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c ce＝，e∈(0,1) ac2＝a2－b2 自我检测 1．已知两定点A(－1,0)，B(1,0)，点M满足MA＋MB＝2，则点M的轨迹是____________．

22

2．“m>n>0”是方程“mx＋ny＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．

3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．

4．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那

123

么PF1＝________，PF2＝________.

x2y2

5．椭圆5x＋ky＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.

2x

例1、 (1)已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭

3圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC是周长是( )

A．23 C．43

B．6 D．12

22

解析 ：根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即43.

3

训练1、已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到椭

2圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．

x2y2c3

解析：设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，根据椭圆定义2a＝12，即a＝6，又＝，得aba2c＝33，故b＝a－c＝36－27＝9，故所求椭圆方程为＋＝1.

36

9

答案：＋＝1

369

例2、一动圆与已知圆O1：(x＋3)＋y＝1外切，与圆O2：(x－3)＋y＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

解 如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r. 则由圆相切的性质知，CO1＝1＋r，CO2＝9－r， ∴CO1＋CO2＝10，而O1O2＝6，

∴点C的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c＝6，b＝4. ∴动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.

2516

22

变式迁移1 求过点A(2,0)且与圆x＋4x＋y－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．

变式迁移1 解 将圆的方程化为标准形式为：

222

(x＋2)＋y＝6，圆心B(－2,0)，r＝6. 设动圆圆心M的坐标为(x，y)，

动圆与已知圆的切点为C.则BC－MC＝BM，而BC＝6， ∴BM＋CM＝6.又CM＝AM， ∴BM＋AM＝6>AB＝4.

∴点M的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB中点(0,0)为中心的椭圆． a＝3，c＝2，b＝5. ∴所求轨迹方程为＋＝1.

95

例3、 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；

?1?(2)经过两点A(0,2)和B?，3?. ?2?

2

2

2

2

2

2

2

x2y2

x2y2

x2y2

x2y2

x2y2

解 (1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为2＋2＝1 (a>b>0)．

ab9

∵椭圆过点A(3,0)，∴2＝1，

a∴a＝3，又2a＝322b，∴b＝1，∴方程为＋y＝1.

9

x2

2

y2x2

若椭圆的焦点在y轴上，设方程为2＋2＝1 (a>b>0)．

ab9

∵椭圆过点A(3,0)，∴2＝1，∴b＝3，又2a＝322b， ∴a＝9，∴方程为＋＝1.

819

综上可知椭圆的方程为＋y＝1或＋＝1.

9819?1?22

(2)设经过两点A(0,2)，B?，3?的椭圆标准方程为mx＋ny＝1，将A，B坐标代入方

?2?4n＝1??

程得?1

m＋3n＝1??4

y2

bx2

x2

2

y2x2

m＝1????1

n＝??4

2

2

2

，∴所求椭圆方程为x＋＝1.

4

6

，求椭圆的标准方程； 3

2

y2

变式迁移2 (1)已知椭圆过(3,0)，离心率e＝

(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)、P2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．

c6

变式迁移2 解 (1)当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，＝，

a3∴c＝6，从而b＝a－c＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为＋＝1.

93

当椭圆的焦点在y轴上时，

c6a2－b262

∵b＝3，＝，∴＝，∴a＝27.

a3a3∴椭圆的标准方程为＋＝1.

927

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

9392722

(2)设椭圆方程为mx＋ny＝1 (m>0，n>0且m≠n)． ∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程， ??6m＋n＝1， ①则? ?3m＋2n＝1， ②?

x2y2

x2y2

x2y2x2y2

1

m＝，??9

①②两式联立，解得?1

n＝??3.

∴所求椭圆方程为＋＝1. 93

例4、 已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)． 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m：的取值范围；

x2y2

解析：曲线C是焦点在x轴上的椭圆， 5－m＞0，??m－2＞0，

当且仅当?

88＞??5－mm－2，

?(3分)

7?7

解得＜m＜5，所以m的取值范围是??2，5?.? 2

x2y2例5、 6．(2012·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，

ab

3a

P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )

2

1234A. B. C. D. 2345

π3111

解析：选C 根据题意直线PF2的倾斜角是，所以a－c＝|PF2|＝|F1F2|＝32c，解

322223

得e＝. 4

x2y2

变式练习：(2012·江西高考)椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦

ab点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．

解析：依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得c5e＝＝. a5

答案：

5 5

例6、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.

(1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．

解析： (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、PF1＋PF2＝2a，得到a、c的关系．

定义式的平方??

(2)对△F1PF2的处理方法?余弦定理

??面积公式

??4c＝PF＋PF－2PF2PF2cos θ，

??

1

S＝PF2PF2sin θ.??2

2

2

1

22

1

2

△

1

2

PF1＋PF2

2

＝a2

，

x2y2

(1)解 设椭圆方程为2＋2＝1 (a>b>0)，

abPF1＝m，PF2＝n.

在△PF1F2中，由余弦定理可知，