广东省初中数学需要注意的几种解题方法

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可知△ABC的形状、大小不变，且∠ACB＝75°，AB> AC．因此，圆周角∠EAF＝∠BAC＝60°所对圆弧与弦EF所围成的弓形面积随其弓形所在圆的直径的变化而变化．利用“极限思维”，当直径最短时其面积最小，当直径最长时其面积最大．又因为点D是线段BC上的一个动点（包括点B，C），以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，所以，如图4，当AD⊥BC于点D时，过点E，D，F三点的弓形的面积最小；如图5，当点D与点B重合时，则点E也与点B重合，此时过点E、D、F三点的弓形的面积最大．

解 如图4，作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF此时过点E、D、F三点的弓形的面积最小．

∵∠ABC＝45°，AB＝42． ∴在等腰直角△ADB中，由勾股定理求得⊙O的直径AD＝4．

作OG⊥EF于点G，连结OE、OF， 则OE＝OF＝2，

∠EOF＝2∠EAF＝120°．

OG＝

12OE＝1，EF＝2EG＝23. ∴扇形EDF的面积为120??22360?4?3

△EOF的面积为12?23?1?3．

则过E、D、F三点的弓形的面积为

4?3?3． 如图5，当点D与点B重合时，则点E也与点B重合，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF．此时过点E、D、F三点的弓形的面积最大．

例3 如图6，圆的半径等于2，∠COB＝90°，点D是弧BC上的一个动点（不与点C，B重合），OE⊥CD，OF⊥BD，则以O，E，F为顶点的三角形面积S的取值范围是_______．

分析 利用“极限思维”．如图7，当点D与C(或B)重合时，面积最小；如图8，当点D运动到弧BC中点时，面积最大．

解 (1)当点D与C(或B)重合时，如图7，

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OC＝OB＝2，BC＝22． ∵OF⊥BD，

∴OF＝EF＝

12BC＝2， ∴S△OEF＝12EF．OF

＝12×2×2＝1 (2)当点D运动到弧BC中点时，如图8．易证EF是△CDB中位线，即EF＝

12BC＝2 由图7知OF＝2，又有OD＝OB＝2．∴等腰三角形OEF的底边EF上的高为 综上所述，得1

已知反比例函数y＝

3x(x>0)的图象经过点(m，y1)、(m＋1，ｙ1)、(m＋2，y3)，则下列关于y1＋y3与y2的大小关系正确的是( )

(A)y1＋y3>2y2 (B)y1＋y3<2y2 (C)y1＋y3＝2y2 (D)不能确定 思路 作差法

函数图象上点的坐标一定适合此函数的表达式，因此函数值的大小比较，可以转化成含有字母m的代数式的大小比较．

∵反比例函数y＝3x（x>0）的图象经

过点(m，y1)，（m＋1，y2），(m＋2，y3)，

∴y1＋y3>2y2．

点评 作差法是从代数角度解决比较大小问题的基本方法，反比例函数的表达式具有分式的特征，所以只要一个变量确定了，另一个变量就可以表示成分式，此题作差法的关键就是分式的加减运算．但是三个异分母分式的加减，运算过程繁琐，耗时又多，学生的畏难情绪比较高．此题也可以采取作商法，考虑到与作差法类似，这里就不再赘述了．

巧用放缩法解题

放缩法是中学数学的常用解题技巧之一，特别适用于思维难度大，构造性强的题目，能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力，本文归纳了运用放缩法解题的几种常见情况．

1．和三角形有关的放缩法

在和三角形有关的问题中，要用到三角形三个角的度数为正，且和为一个定值，再结合放缩法解题．

例1 已知锐角三角形的三个内角度数为A，B，C，并且满足A>B>C，用α表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则α的最大值是_______．

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分析 因为，A，B，C是锐角三角形的三个内角度数，所以，A－B，B－C，90°－A都大于0，故α也大于0，且不超过上面三个式子的值．利用这一点对α进行放缩．

解

??2????3?6?2?A?B???B?C??3?90?A?6?2A?2B?B?C?270?3A

6?270??A?B?C?6因为A，B，C，是三角形的三个内角度数，所以，A＋B＋C＝180，

所以原式≤

270?1806?906?15， 因此，α的最大值是15°．

小结 此题求的是“最小者”的最大值，充分体现了放缩法的灵活性，在解题过程中，利用了三角形的内角和为180°，以及它们的非负性，从而得到答案． 2．多个变量的放缩法

多变量的问题，由于变量较多且相互约束，学生解题时往往顾此失彼，感到难以入手，这类问题有时可以用放缩法解决．

例2 已知x，y，z为3个非负数，且满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若S＝2x＋y－z，则S的最大值与最小值的和为( )

(A)5 (B)234

(C)274

(D)354

分析 有多个未知数时，不可能对他们同时进行放缩，在这种情况下，一般先归结为1个未知数，再对这1个未知数放缩．

解 由已知，可得不定方程：

小结 此题给了3个未知数，2个方程，本质上是一个不定方程组，可以用一个未知数表示其余2个未知数，从而把多个未知数的放缩归结为1个未知数的放缩．

3．多重放缩法

有的问题不是一次放缩就能到位的，往往要经过多次放缩．在同一个题目中，这多次放缩的原理往往是类似的．

例3 求方程1x?1y?1z?56的正整数解．

分析 此题初看好像是一道解不定方

程的题，有无数个解，但是，由于x，y，z都是正整数，限定了范围，利用放缩法，结合正整数的离散型，可以得到此题的有限个数的解．

解 因为x，y，z都是正整数，

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同理，对y进行放缩，可得，3

当x＝3时，同理可求得，y＝3或4，z值亦可求．

综上，当1

(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)

由于x，y，z在原方程中的地位平等，将上面x，y，z的取值可以调换，实际上原方程的解共有15组．

小结 多元问题的解题途径一般是从整体考虑，化多元为一元．分层次对每一元进行放缩，通过多重放缩，将解的范围逐步缩小，最后利用正整数的离散性将解求出．

由逆运算引发逆向思维 例2 化简：（x－1）?1x?1 分析 大多数学生习惯于先将

?1x?1化简，再将整个式子化简，能否将根式外的因式（x－1）“移”到根号内呢？若能，此时需要注意因式（x－1）值的正负性．这一想法的依据是公式a＝a2(a≥0)．

解

?1x?1有意义的条件为?1x?1?0，则x－1<0，即x－1为负数． ∴原式=???1?x??1??x?1? ????1x?1?1?x?2??11?x?1?x?2

??1?x说明 化简的依据是公式a＝a2 (a

≥0)，即公式a2＝a(a≥0)的逆用．应注意二次根式有意义的条件（被开放式为非负数），还要注意根式内“移”出的数应是非负数，“移”进的数也应是非负数． 从问题的反面进行思考引发逆向思维

例5 若方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，x2－2(k＋1）x＋k2－2＝0，x2－（2k＋1）x＋(k－2)2＝0中至少有一个方程有实数根，求k的取值范围．

分析 由于“至少有一个方程有实数根”与“三个方程均无实数根”是对立排斥的，所以可以先从这个问题的反面，即三个方程均无实根的角度来考虑，即从△1、△2、△3三者均小于0中解出k的取值范围，再从实数中排除这个k的取值范围．

解 ∵△1＝8k＋9<0， △2＝8k＋12<0， △3＝20k－15<0，