广东省初中数学需要注意的几种解题方法

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构造法

所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法：

一．某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“方程” 求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？ 解：原方程整理得（a-4）x=15-b ∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0

分别解得a=4，b=15 二．构建几何图形

对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问

题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

例2：已知，则x 的取

值范围是（ ） A 1≤≤5 B ≤1 C 1＜＜

5 D

≥5

分析：根据绝对值的几何意义可知：

表示数轴上到1与5的距

离之和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤≤5，故选A.

4 015三．典题示例

一．构造方程解题

例1 若代数式m2 + 3与4m + 1互为相反

数，则m-2等于（ ）

A. 4 B. - 4 C. D. -

14 解 由相反数的性质（互为相反数的两个数或两个式子之和为零），得m2 + 3 + 4m + 1 = 0，即m2 + 4m + 4 = 0，(m + 2)2 = 0，解之得：m = - 2，所以m-2 = (-2)-2 =14，故本题应选C。

例2 当x =_____时，分式

x2?1x2?7x?8无意

义；当x =______时，此分式的值为零。 解 要使此分式无意义，只需x2 - 7x – 8 = 0，解之得x1 = 8，x2 = -1，即当x = 8或x = -1

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时，该分式无意义。

要使该分式的值为零，只须分子x2 – 1 = 0且分母x2 -7 x – 8 ≠ 0；由x2 – 1 = 0，得x = ±1，但当x = -1时，分母x2 -7x - 8 = 0，分式无意义。故当x = 1时，此分式的值为零。

例3 已知x、y是正整数，并且xy + x + y = 23①，x2y + xy2 = 120②，求x2 + y2的值。 解 因①、②可化为xy + (x + y) = 23，xy(x + y) = 120，则由一元二次方程根与系数的关系知：xy、x + y是方程t2 - 23t + 120 = 0的两个实数根，解之得xy = 8，x + y = 15或xy = 15，x+y = 8。又x、y是正整数，所以只能是xy = 15，x + y = 8。所以x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 64 – 30 = 34。

二．构造几何图形解题

例4. 如图1，过正方形ABCD的顶点C作任意一条直线与AB、AD的延长线分别交于点E、F。求证：AE?AF?4AB。

注：应用构造一元二次方程的方法解决一些几何中的不等式问题，的确让我们有耳目一新的感觉，有益于训练大家思维的发散性、创新性。

四 巩固强化

1. （2012 常州）已知关于x的方程2x-mx-6=0的一个根2，则m= ，另一个根为 2. （2012

2大庆）

3.（2012?广西）使式子x?1?2?x 有

意义的x的取值范围是（ ）

A．x≥-1 B．-1≤x≤2 C．x≤2 D．-1＜x＜2

4.若最简二次根式5a?3与a2?3是同类二次根式，则a的值为( )

A. 2或3 B. -2或3 C. 3 D. 2

5. 已知实数x、y满足9x2 + 12x +

分析：注意到要证明的不等式的形式，可联想到一元二次方程的判别式。

证明：设正方形的边长为a，连AC。 因为S?AEF?S?ACF?S?ACE，所以有

4+y?2=0，求代数式2xy的值。 6.若(m?2)xm2?2?3x= 5 - m是关于x的一

元二次方程，则m =_________。 7.已知

1111AE?AF?AF?CD?AE?BC?a(AE?AF)b?c2222=______。

。 a即AE?AF?a(AE?AF)。 9.（2012?佳木斯）如图，点A、B、C、D

从而AE、AF可视为关于x的一元二次方程

1(b - c)2 = (a - b)(c - a)且a ≠ 0，则4x2?(AE?AF)x?a(AE?AF)?0的两个

实数根。所以该方程的判别式

分别是⊙O上四点，∠ABD=20°，BD是直径，则∠ACB=70°

??(AE?AF)2?4a(AE?AF)?0

得AE?AF?4a，即AE?AF?4AB。

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10. 如图2，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若

S?AOB?4,S?CO?D9。求证：

S四边形ABCD?25。

面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。面积问题主要涉及以下两部分内容：

（一）怎样证明面积相等。以下是常用的理论依据

1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。

同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

6.三角形的中位线截三角形所得的三角形1的面积等于原三角形面积的4

7.三角形三边中点的连线所成的三角形的1面积等于原三角形面积的4

8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

（二）用面积法解几何问题 （常用的解题思路）

1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

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3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4.还可以利用面积解决其它问题。

5.（2012?宜宾）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=1 ，2AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（ ） A.1111 B. C. D. 7654 由S△CFE＝S△CFB

故可得出S△AEF＝S△ABC 证明：∵AD//BE//CF

∴△ADB和△ADE同底等高 ∴S△ADB＝S△ADE

同理可证：S△ADC＝S△ADF ∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF 又∵S△CEF＝S△CBF ∴S△ABC＝S△AEF

∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC

∴S△DEF＝2S△ABC

2. 作平行线法

例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点

典题示例 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法

例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。

分析：由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h

证明：过M作MN//AB ∵M为腰BC的中点 ∴MN是梯形的中位线 设梯形的高为h

分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等

③三是△AEF，只要再证出它与△ABC的面积相等即可