[最新]高中数学苏教版必修四教学案：第2章 2.5 向量的应用 含答案

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[例1] 如图所示，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．

[思路点拨] 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．

[精解详析] 如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°. 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°， ∠OAC＝90°.

|OA|＝|OC|cos 30°＝300×＝1503(N)，

1

|OB|＝|OC|sin 30°＝×300＝150(N)．

2

故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. [一点通] 在解决力的合成与力的分解问题时，一般是通过作出受力分析图结合力的平衡原理，再辅之以向量加法的平行四边形法则使问题获得简捷、有效的解决．因此，在运用向量解决物理问题时，一定要把数学知识和物理的实际情况有机结合起来，这是有效解决此类问题的根本方法．

1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2

成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．

解析：由已知得F1＋F2＋F3＝0， ∴F3＝－(F1＋F2)．

3 2

∴F3＝F1＋F2＋2F1·F2＝F1＋F2＋2|F1||F2|cos 60°＝28. ∴|F3|＝27. 答案：27

2．在水流速度为43 km/h的河中，一艘船以12 km/h的实际速度垂直对岸行驶，求这艘船在静水中航行速度的大小与方向．

解：如图，设AB表示水流速度，AC表示船行驶的实际速度，以AB为一边，AC为一对角线作平行四边形ABCD，则AD就是船在静水中的航行速度．

∵|AB|＝43.|AC|＝12，

22222

433∴|AD|＝|BC|＝83，tan∠ACB＝＝，

123∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.

故船在静水中的航行速度大小为83 km/h，与水流方向夹角为120°.

[例2] 如图，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.

[思路点拨] 欲证AD⊥CE，即证AD·CE＝0.由于已有CA·CB＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．

[精解详析] 法一：记CA＝a，CB＝b， 则AB＝b－a，且a·b＝0，|a|＝|b|. 1

因为AD＝CD－CA＝b－a，

2

CE＝AE－AC＝(b－a)＋a＝b＋a，所以

11??21?1

AD·CE＝??2b－a?·?3b＋3a?＝3b2－3a2＝0.

????

2

32313

可得AD⊥CE.

法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2， 则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)， 因为D是CB的中点，则D(0,1)． 所以AD＝(－2,1)，AB＝(－2,2)

22?24?又CE＝CA＋AE＝CA＋AB＝(2,0)＋(－2,2)＝?，?， 33?33?24?24?所以AD·CE＝(－2,1)·?，?＝(－2)×＋＝0，

33?33?因此AD⊥CE.

[一点通] (1)证明直线平行，可用平行向量定理；证明直线垂直，可用数量积运算； (2)用向量法证明几何问题，需要选取恰当的基底，进而将其他向量用基底正确表示；如果能够建系，则可用向量的坐标法，借助代数运算达到证明的目的．

3．点O是△ABC所在平面内一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△

ABC的三条________的交点．

解析：由OA·OB＝OB·OC得OB·(OA－OC)＝0， 即OB·AC＝0，所以OB⊥AC.

同理，OC⊥AB，OA⊥BC.所以O为三条高的交点． 答案：高

4.已知：如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高，且相交于点O，若

DG⊥BE于G，DH⊥CF于H，求证：GH∥EF.

证明：设OA＝λOD (λ≠0)，

∵DG⊥BE，AE⊥BE，∴DG∥AE，同理DH∥AF， 则AE＝λDG，AF＝λDH，

∴EF＝AF－AE＝λ(DH－DG)＝λGH. ∴GH∥EF，又∵GH，EF没有公共点，∴GH∥EF.

[例3] 已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴上的正半轴上，点M在直线AQ上，3

满足PA·AM＝0，AM＝－MQ，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．

2

[思路点拨] 先设出动点坐标即M(x，y)，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示

AM，MQ，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．

[精解详析] 设点M(x，y)为轨迹上的任意一点， 设A(0，b)，Q(a,0)(a>0)，

则AM＝(x，y－b)，MQ＝(a－x，－y)， 33

∵AM＝－MQ，∴(x，y－b)＝－(a－x，－y)，

22

????∴a＝，b＝－，则A?0，－?，Q?，0?，

2??3?32?

y??3?PA＝??3，－2?，AM＝?x，2y?.

????

∵PA·AM＝0，

xyyxy??3?32?∴?3，－?·?x，y?＝0.∴3x－y＝0， 2??2?4?

∴所求轨迹方程为y＝4x(x>0)．

[一点通] (1)正确写出点的坐标，并由已知条件转化为向量坐标是解题的关键．

(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．

5．过点M(2,3)且平行于向量a＝(2,3)的直线方程为________．

解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(M除外)，则MP＝(x－2，y－3)． ∵该直线平行于向量a＝(2,3)， ∴2(y－3)＝3(x－2)即3x－2y＝0. 又点M(2,3)在直线3x－2y＝0上， 故所求直线方程为3x－2y＝0. 答案：3x－2y＝0

6．已知圆C：(x－3)＋(y－3)＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．

解：设M(x0，y0)，N(x，y)，

由MA＝2AN得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)． ∴?

?x0＝3－2x，?

??y0＝3－2y.

2

2

2

2

2

代入方程：(x0－3)＋(y0－3)＝4，

22

得x＋y＝1.

∴点N的轨迹方程为x＋y＝1.

2

2