北师大版八年级数学下册 《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解 含答案解析

《因式分解》全章复习与巩固（提高）

责编：杜少波

【学习目标】

1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；

2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法； 3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法

把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式

m，另一个因式是

，即，而正好是

除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：

a2?b2??a?b??a?b?

2.完全平方公式

两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．

即a?2ab?b??a?b?，a?2ab?b??a?b?.

222222形如a?2ab?b，a?2ab?b的式子叫做完全平方式.

要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边

是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.

2222 1

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）

这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.

（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以

是单项式或多项式.

要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

对于二次三项式x?bx?c，若存在?分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

要点五、因式分解的一般步骤

因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.

因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．

【典型例题】

类型一、提公因式法分解因式

1、 分解因式：

(1)2abc?8ac?4abc；

(2)m(m?n)?m(m?n)?m(m?n)(m?n)． 【答案与解析】

解：(1)2abc?8ac?4acb?2ac(abc?4c?2b)． (2)m(m?n)?m(m?n)?m(m?n)(m?n)

32222322?pq?c ，则x2?bx?c??x?p??x?q?

?p?q?b222?m(m?n)[(m?n)2?(m?n)?(m?n)] ?m(m?n)(m2?2mn?n2?2n)．

【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．

2

2、利用分解因式证明：25?5能被120整除．

【思路点拨】25＝5，进而把25整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可． 【答案与解析】 证明：25?5＝5＝5?5 ＝51252?1 ＝5?24 ＝5?5?24 ＝5?120

∴25?5能被120整除．

【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．

类型二、公式法分解因式

3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：?x?y??4?x?y??4x?y222712111112141271227712??27?512

???2?，小

明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．

【思路点拨】把?x?y?、?x?y?分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答． 【答案与解析】

解：把?x?y?、?x?y?看作完全平方式里的a,b； 原式＝?x?y????2?x?y????2?2?x?y??x?y?

＝???x?y??2?x?y??? ＝?3y?x?．

【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把?x?y?、?x?y?看作完全平方式里的a,b是解题的关键． 举一反三：

2222 3

【变式】下面是某同学对多项式?x2?4x?2??x2?4x?6??4进行因式分解的过程．

解：设x2?4x?y

原式＝?y?2??y?6??4（第一步） ＝y2?8y?16（第二步） ＝?y?4?2（第三步） ＝(x2?4x?4)2（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）． A、提取公因式 B．平方差公式

C、两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________. （3）请你模仿以上方法尝试对多项式?x2?2x??x2?2x?2??1进行因式分解．

【答案】

解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；

（2）x2?4x?4还可以分解，分解不彻底；结果为?x?2?4.

（3）设x2?2x?y．

?x2?2x??x2?2x?2??1

＝y?y?2??1， ＝y2?2y?1， ＝?y?1?22

， ＝(x2?2x?1)2， ＝?x?1?4．

4、（2016秋?海安县期末）因式分解： （1）6xy2?9x2y?y3； （2）?p?4??p?1??3p.

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