线性代数习题及解答

线性代数习题一

说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||?||表示向量?的长度，?T表示向量?的转置，

E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

a11a12a133a113a123a131．设行列式a21a22a23=2，则?a31?a32?a33=（ ）

a31a32a33a21?a31a22?a32a23?a33A．-6 B．-3 C．3

D．6

2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ） A．E+A-1

B．E-A C．E+A

D．E-A-1

3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）

A．??A?A-1??B?可逆，且其逆为????B-1? B．????A?B?不可逆 ?C．??A??B-1?D．??B?可逆，且其逆为???A-1? ??A??A-1??B?可逆，且其逆为???B-1? ?4．设?1，?2，…，?k是n维列向量，则?1，?2，…，?k线性无关的充分必要条件是A．向量组?1，?2，…，?k中任意两个向量线性无关

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 C．向量组?1，?2，…，?k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D．向量组?1，?2，…，?k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5．已知向量2????(1,?2,?2,?1)T,3??2??(1,?4,?3,0)T,则???=（ ） A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T

D．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（ ） A．1

B．2

）

（C．3 D．4

7．设?是非齐次线性方程组Ax=b的解，?是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

（ ）

A．?+?是Ax=0的解 C．?-?是Ax=b的解 8．设三阶方阵A的特征值分别为A．2,4,C．

B．?+?是Ax=b的解 D．?-?是Ax=0的解

11,,3，则A-1的特征值为（ ） 24B．

1 3111,, 24311,,3 241D．2,4,3

9．设矩阵A=

2?1，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）

1A．?1?123

01B．102

?2C．

111

D．

?21

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 C．正定矩阵的行列式一定大于零

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB))=__________．

3

B．正定矩阵的行列式一定小于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

112．设3阶矩阵A=42t?23，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________． 1-1

3?1k13．设方阵A满足A=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A=__________． 14．实向量空间R的维数是__________．

15．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．

n17．设?是齐次线性方程组Ax=0的解，而?是非齐次线性方程组Ax=b的解，则A(3??2?)=__________． 18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．

19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．

20．二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正惯性指数是__________． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

222121．计算行列式

142?12?6142．

?1?1?4121222．设矩阵A=

35，且矩阵B满足ABA=4A+BA，求矩阵B．

-1-1-1

23．设向量组?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并

将其余向量通过极大线性无关组表示出来．

?124．设三阶矩阵A=?24533，求矩阵A的特征值和特征向量．

2

?4?225．求下列齐次线性方程组的通解．

?x1?x3?5x4?0? ?2x1?x2?3x4?0?x?x?x?2x?0234?12?24?2026．求矩阵A=

3010360?110110的秩．

?12四、证明题（本大题共1小题，6分）

a1127．设三阶矩阵A=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于0，证明： a33a31?a13??a11??a12????????1??a21?,?2??a22?,?3??a23?线性无关．

?a??a??a??31??32??33?

线性代数习题二

说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。

的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或T

*

A表示方阵A未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则

?12A?( ) A.-1 B.?14 C.

14 D.1

x?2x?1x?22.设

f(x)?2x?22x?12x?2,则方程f(x)?0的根的个数为（ ）

3x?23x?23x?5A.0 B.1 C.2

D.3

3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若A?B,则必有（ A.A?0 B. A?B?0 C.

A?0

D.

A?B?0

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ） A.(A?B)2?A2?2AB?B2

B.(A?B)(A?B)?A2?B2

C.(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E) D.(AB)2?A2B2

?a1ba1b2a1b3?5.设A??1?a2b1aa?0,b?2b22b3?,其中ai?i?0,i?1,2,3,则矩阵A的秩为（?a3b1a3b2a3b3??A.0 B.1 C.2

D.3

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ） A.0

B.2

） ）