2017届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题

数 学 试 题Ⅱ参考答案

?a?4?a1??1??2?a?2?2?21.解：由题意得????2????7?,即?b?8??7,解得?b?1, b4????????所以A???41??, --------------------5分 14????4?1??2?8??15，

?1??4所以矩阵A的特征多项式为f(?)?令f(?)?0，解得??5或??3，即矩阵A的特征值为5和3. ---------------------10分 22.解：将直线l的极坐标方程化直角坐标系方程为y?x --------------------2分 将曲线C的参数方程化为普通方程可得：y?2?x2(?1?x?1) --------------------5分 由??y?x?y?2?x22得x?x?2?0，解得x=1或x=?2，又?1?x?1，所以x=1，

所以直线l与曲线C的交点的直角坐标为（1,1）. --------------------10分 注：结果多一解的扣2分

23.解：⑴甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有4?64种不同的选法，记“甲、乙、丙

3P(M)?三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含A34?24个基本事件，则

所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为

243?，6483. --------------------3分 8⑵方法一：X可能的取值为0,1,2,3， --------------------4分

2C12733273?3?P(X?0)?3?，P(X?1)?， 33644642C3?39C313P(X?2)??P(X?3)??，. --------------------8分

43644364所以X的分布列为： X 0 1 2 3 91 64642727913?1??2??3??. -------------10分 所以X的数学期望E(X)?0?646464644方法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三

1k1k33?k人中选修《数学史》的人数，则X?B(3,)，所以P(X?k)?C3()()，k?0,1,2,3，

444所以X的分布列为：

P 27 6427 64数学试题答案 第13页（共14页）

X 0 1 2 3 27 6413所以X的数学期望E(X)?3??.

44P 27 649 641 64i0111nnnn24.解：⑴因为fi(x)=x(i?N)，所以Fn(x)?(?1)0C0nx?(?1)Cnx???(?1)Cnx?(1?x)，

所以F2(1)=0， ---------------------1分 所以F2017(2)?(1?2)2017??1. ---------------------3分 ⑵因为fi(x)=x(x?0,i?N)， x+i00n11nnnnnx??(n?N?). 所以Fn(x)=(?1)Cf0(x)?(?1)Cf1(x)???(?1)Cfn(x)???(?1)iCin?x+i?i?0?x?x1?i?1??①当n?1时，Fn(x)=??(?1)iC1，所以n?1时结论成立. ----4分 ?x+i?x+1x+1i?0?1x?k!??②假设n?k(k?N)时结论成立，即Fk(x)=??(?1)iCik?(x?1)(x?2)?(x?k)， x+i?i?0??kx?x?x??iiiik?1k?1则n?k?1时，Fk?1(x)=??(?1)Ck?1 =1+(?1)C?(?1)C?k?1k?1???x+ix+ix+k?1????i?0i?1kx?x?x?k?1?x??iii?1k?1k?1iiii-1 ?1???(?1)(Ck+Ck)?(?1)C?(?1)C?(?1)Ck?1??kk?????x+ix+k?1x+ix+i??i?1??i?1?i?0?kk?1kkx?x???i-1i-1ii?F(x)-(?1)C=Fk(x)-??(?1)Ck?kk??? x+ix+i?1??i?1?i?0?k?1x+1?xx??Fk(x)-??(?1)iCik?F(x)?Fk(x+1) kx+1+i?x+1?x+1i?0??=k!k!x??

(x?1)(x?2)?(x?k)(x?2)(x?3)?(x?1+k)x+1(x?1+k)?k!?x?k!(k+1)!=，

(x?1)(x?2)?(x?k)(x?1+k)(x?1)(x?2)(x?3)?(x?1+k)k所以n?k?1时，结论也成立. 综合①②可知，Fn(x)=n!(n?N?). ---------------------10分

(x?1)(x?2)?(x?n)数学试题答案 第14页（共14页）