《数学奥林匹克竞赛题解》第二章 代数部分 第四节 二项式定理、概率、数学归纳法

数学奥林匹克题解

由归纳假设k-3=3l+5m，m，n为非负整数 所以 k=（k-3）+3=3l+5m+3 =3（l+1）+5m 故命题对k成立．

B4-008 给定三只相同的n面骰子，它们的对应面标上同样的任意整数．证明：如果随机投掷它们，那么向上的三个面上的数的和被3整除的概率大于或等于1/4．

【题说】第八届（1979年）美国数学奥林匹克题3．

【证】因为问题只涉及和是否被3整除，所以不妨假定，每个面上的数是被3除后的余数；0、1、2．设每个骰子上标“0”的有a个，标“1”的有b个，标“2”的有c个．这里a，b，c是适合下列条件的整数：

0≤a，b，c≤n， a+b+c=n （1）

随机地投掷三只骰子，总共有n3种等可能情形．其中朝上三个数的和被3整除的情形有以下四种类型：

0，0，0；1，1，1； 2，2，2；0，1，2

第一类共有a3种，第二类共有b3种，第三类有c3种，第四类有3！abc=6abc种．

因此，原问题转化为在条件（1）下，证明不等式

即 4（a3+b3+c3+6abc）≥（a+b+c）3 上式可化简为等价的不等式

a3+b3+c3+6abc≥a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b （2） 不妨设a≥b≥c，则

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a3+b3+2abc-a2b-ab2-a2c-b2c

=a2（a-b）+b2（b-a）+ac（b-a）+bc（a-b）

=（a-b）（a2-b2-ac+bc）=（a-b）2（a+b-c）≥0， （3） c3+abc-c2a-c2b=bc（a-c）+c2（c-a） =c（a-c）（b-c）≥0 （4）

（3）、（4）相加得a3+b3+c3+3abc≥a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b 从而（2）成立．

B4-009 抛掷一枚硬币，每次正面出现得1分，反面出现得2分．试

【题说】第十二届（1980年）加拿大数学奥林匹克题4．

【证】令得到n分的概率为Pn．因为得不到n分的情况只可能是：先得n-1分，再掷出一次反面．所以有

由于 P1=1/2

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B4-010 某个国王的25位骑士围坐在一张圆桌旁．他们中的三位被选派去杀一条恶龙（设三次挑选都是等可能的），令P是被挑到的三人中至少有两人是邻座的概率．若P写成一个既约分数，其分子与分母之和是多少？

【题说】第一届（1983年）美国数学邀请赛题7．

【解】选二相邻的骑士有25种方法．再随着选第三位，有23种，故共有25×23种方法．但其中三者相邻的25种情况重复，应减去．故

因此，所求之分子、分母之和为57．

【别解】所选3人分两种情况：3人皆相邻，或2人相邻、1人不邻，故有25+25×（25-4）种．

B4-011 在给定的圆周上随机地选择A、B、C、D、E、F六点，这些点的选择是独立的，对于弧长而言是等可能的．求ABC、DEF这两个三角形不相交（即没有公共点）的概率．

【题说】第十二届（1983年）美国数学奥林匹克题1．

【解】设圆周上给定6个点，从这6点中取3个点作为△ABC的顶

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B4-012 一个园丁把三棵枫树、四棵橡树和五棵白桦树种成一行．十二棵树的排列次序是随机的，每一种排列都是等可能的．把没有两棵白桦树相邻的概率写成既约分数m/n．试求m+n．

【题说】第二届（1984年）美国数学邀请赛题11．

【解】先把三棵枫树和四棵橡树排好，有7！种排法，中间6个空

所以，m+n=106为所求．

B4-013 设A、B、C、D是一个正四面体的顶点，每条棱长1米．一只小虫从顶点A出发，遵照下列规则爬行：在每一个顶点相交的三条棱中选一条（三条棱选到的可能性相等），然后从这条棱爬到另一个点．设小虫爬了7米路之后，又回到顶点A的概率为P=m/729，求m的值．

【题说】第三届（1985年）美国数学邀请赛题12．

【解】设从A出发走过n米回到A点的走法为an种．由于从A出发走n-1米的走法共3n-1种，其中an-1种走到A的，下一步一定离开A．除去这an-1种，其余的每一种都可以再走1米到达A点．因此有

an=3n-1-an-1

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