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实验10 用扭摆法测定物体转动惯量
【预习要求】
1．参见大学物理刚体一章，导出规则物体：圆柱、圆筒和圆球过几何轴，圆柱、圆筒和细杆对过中心、垂直于几何轴的转动惯量的计算公式。
2．根据实验内容，在预习报告上自行设计、准备好数据记录表格。
【实验目的】
1．了解扭摆测量转动惯量的原理和方法。
2．用扭摆测定弹簧的扭转常数及几种不同形状刚体的转动惯量。
3．验证刚体转动的平行轴定理。 【实验原理】
1．扭摆测量物体转动惯量、弹簧的扭转常数
图10-1 扭摆
扭摆的构造如图10-1所示。在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体。垂直轴与支座间装有轴承，以降低摩擦力矩。3为水平仪，用来调整仪器转轴成铅直。将物体在水平面内转过?角，在弹簧的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度?成正比，即
M??K? （10-1）
式中，K为弹簧的扭转常数，根据转动定律
M?I?
式中，I为物体绕转轴的转动惯量，?为角加速度，由上式得
??令 ?2M （10-2） I?KI ，忽略轴承的摩擦阻力矩，由（10-1）、（10-2）得
d?dt22????KI?????
2上述微分方程表示扭摆运动具有角谐振动的特性，即角加速度?与角位移?成正比，并且方向相反。此微分方程的解为
??Acos??t???
式中，A为谐振动的角振幅，?为角位移，?为初相位角，?为角频率。此谐振动的周期为
2?IKT???2? （10-3）
由式（10-3）可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期T，并在I和K中任何一个量已知时，即
可计算出另一个量。
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本实验利用测量一个形状规则物体（圆柱体）在扭摆上的摆动周期来测量弹簧K值。圆柱体的转动惯量I1'可根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，从而可算出本仪器弹簧的K值。因圆柱是放在金属载物盘上测量，须考虑载物盘的转动惯量I盘，所以有
K?4?22I1T1?T盘2' 和 I盘?I1T盘T1?T盘22'2 （10-4）
式中T盘和T1分别为只有金属载物盘和载有圆柱体时测出的摆动周期。
若要测定其他形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的载物盘或夹具上，测定其摆动周期，利用式（10-3）即可算出该物体绕转动轴的转动惯量，但应扣除载物盘或夹具的转动惯量。即
I?KT4?22?I盘 或 I?KT4?22?I夹具 （10-5）
2．转动惯量平行轴定理的验证
若质量为m的刚体对过质心轴C的转动惯量为IC，可以证明，当转轴平行移动距离x时，刚体对新轴的转动惯量将变为
Ix?IC?mx
2这就是转动惯量的平行轴定理。
本实验利用一金属细杆，在其两侧对称放置两个尺寸和质量相同的滑块（带同轴孔的金属圆柱）。改变两滑块距金属细杆中心的距离x，可测出相应的、过金属细杆中心、垂直于金属细杆的转动轴的摆动周期T 。由式（10-3）和平行轴定理，有
T2?4?(2m)K2x?24?K2(I4?I5) （10-6）
式中2ｍ为两滑块质量，I4为金属细杆（包括夹具）绕过其中心的垂直转轴的转动惯量，I5为两滑块绕过其中心的垂直转轴的转动惯量。
由式可见，摆动周期的平方T2与两滑块质心距金属细杆中心的距离的平方x2成正比。令y = T2 ，w = x2 ，a = 4π2（2m）/K ，b = 4π2（I 4+ I5）/K ，有y = a w + b 。对实验数据作最小二乘法函数拟合，若线性关系成立，则可验证平行轴定理。
【实验仪器】
扭摆、转动惯量测试仪、待测物体、物理天平、游标卡尺等。
转动惯量测试仪由主机和光电传感器两部分组成。主机采用新型的单片机作控制系统，用于测量物体转动或摆动的周期。能自动记录、存贮多组实验数据并能计算多组实验数据的平均值。光电传感器主要由红外发射管和接收管组成，将光信号转换为脉冲电信号，送入主机工作。因人眼无法直接观察仪器工作是否正常，但可用遮光物体往返遮挡光电探头发射光束通路，检查计时器是否开始计数和到预定周期数时是否停止计数。为防止过强光线对光探头的影响，光电探头不能置放在强光下，实验时可采用窗帘遮光，确保计时的准确。TH－2型转动惯量测试仪面板见图10-2所示，使用方法为：
1. 开机：打开电源开关，摆动指示灯亮。显示“P1----”，（参量指示为P1、数据显示为----）。若情况异常（死机），可按复位键，即可恢复正常。
2. 功能选择：按“功能”键，可以选择摆动、转动两种功能（开机默认状态为“摆动”）。 3. 置数：按“置数”键，显示“n = 10” （默认周期数）。按“上调/下调”键，周期数依次增加/减少1（周期数设置范围1—20），再按“置数”键确认，显示“F1 end”或“F2 end”。周期数一旦预置完毕，除复位和再次置数外，其它操作均不改变预置的周期数。
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4. 执行（以扭摆为例）：将刚体水平旋转约90°后，让其自由摆动。按“执行”键，仪器显示“P1 000.0”。当被测物体上的挡光杆第一次通过光电门时开始计时，同时状态指示的计时灯点亮。随着刚体的摆动，仪器开始连续计时，直到周期数等于设定值时，停止计时，计时灯熄灭，此时仪器显示第一次测量的总时间。重复上述步骤，可进行多次测量。本机设定重复测量的最多次数为5次，即（P1，P2，?，P5）。
执行键还具有修改功能。例如要修改第三组数据，可连续按执行键直到出现“P3 000.0”后，重新测量第三组数据。
5. 查询：按“查询”键，可知各次测量的周期值C1，C2，?，C5及它们的平均值CA。以及当前的周期数n 。若显示“NO”，表示没有数据。
6. 自检：按“自检”键，仪器应依次显示“n = N-1”，“2n = N-1”，“SC GOOD”，并自动复位到“P1----”，表示仪器工作正常。
7. 返回：按“返回”键，系统将无条件的回到最初状态，清除当前状态的所有执行数据，但预置周期数不改变。
8. 复位：按“复位”键，实验所得数据全部清除，所有参量恢复初始时的默认值。 本仪器显示的时间单位为s ，计时精度（仪器误差限）为0.001s 。 【实验内容及步骤】
1．测量弹簧的扭转常数K和金属载物盘的转动惯量I盘 。
（1）用游标卡尺测量圆柱体的外径D1（测6次：在圆柱两头不同位置各测3次）；用物理天平测量其质量m1（1次测量）。 （2）调整扭摆基座底脚螺钉，使水平仪气泡居中。
（3）装上金属载物盘，并调整光电探头的位置使载物盘上的挡光杆处于其缺口中央且能遮住发射、接收红外光线的小孔。用转动惯量测试仪测定摆动周期T盘。（设定周期数n = 20，测5次）
（4）将塑料圆柱体垂直放在载物盘上，测定摆动周期T1。（设定周期数n = 10，测5次）
2．测量金属圆筒、塑料圆球和金属细杆的转动惯量I2、I3、I4。
（1）测量金属圆筒的外、内径D外、D内（测6次）和质量m2（1次）。塑料圆球、金属细杆的几何尺寸和质量及支架、夹具的转动惯量由实验室给出。
（2）用金属圆筒替换塑料圆柱体，测定摆动周期T2 。（n = 10，测3次） （3）卸下金属载物盘，装上塑料圆球，测定摆动周期T3 。（n = 10，测3次） （4）卸下塑料圆球，装上金属细杆（金属细杆中心必须与转轴重合）。测定摆动周期T4 。（n = 10，测3次）
3．验证转动惯量平行轴定理。
将金属滑块对称放置在金属细杆两侧（滑块上的固定螺钉应落入细杆两边的凹槽内），依次改变滑块质心离转轴的距离分别为5.00，10.00，15.00，20.00和25.00cm ，测定相应的摆动周期T （n = 10，1次测量）。称量金属滑块的质量2m（1次测量）。
【数据处理】
1．由圆柱体的外径D1和质量m1计算其转动惯量I1' ，并由式（10-4）计算弹簧的扭转常数K和载物盘的转动惯量I盘。计算I1'、K和I盘的不确定度，并表达测量结果。
2．由式（10-5）计算金属圆筒、塑料圆球和金属细杆的转动惯量I2、I3 、I4，并与由几何尺寸和质量计算出的转动惯量I2'、I3'、I4' 作比较，计算相对误差。
3．对实验内容3的实验数据作最小二乘法线性拟合。由相关系数r判断是否验证了转动惯量的平行轴定理。由系数a计算弹簧的扭转常数K，并与实验内容1得到的实验结果相比较，计算相对误差。
【注意事项】
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1．扭摆机座应保持水平。
2．在安装金属载物盘或待测物体时，其支架必须全部套入扭摆主轴，并将止动螺母（在垂直轴上）旋紧，否则扭摆不能正常工作。
3．光电探头宜放置在挡光杆的平衡位置处，且挡光杆不能和它相接触。
4．由于弹簧的扭转常数K不是固定常数，它与摆角略有关系，摆角在90°左右时基本相同，在小角度时变小。因此，为了降低实验时由于摆动角度变化过大带来的系统误差，在测量各种物体的摆动周期时，摆角不宜过小，摆幅也不宜变化过大。
5. 为保证测量精度，应先让扭摆自由摆动，然后再按动转动惯量测试仪的“执行”键进行计时。
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