2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷2

芈因此点P的轨迹方程为x2?y2?2

膈（2）由题意知F(?1,0)

羄设Q(?3,t),P(m,n)，则

薄OQ?(?3,t),PF?(?1?m,?n),OQPF?3?3m?tn， 羀由OQPQ?1得?3m?m2?tn?n2?1 羆又由（1）知m2?n2?2，故 肄所以OQPF?0，即OQ?PF. 蚀又过点P存在唯一直线垂直于OQ， 蒈所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

蚅21.（12分）

膄解：

肁（1）f(x)的定义域为(0,??)

膀设g(x)?ax?a?lnx，则f(x)?xg(x),f(x)?0等价于g(x)?0

螈因为g(1)?0,g(x)?0，

芄故g?(1)?0，

蒂1而g?(x)?a?,g?(1)?a?1，

x

薈得a?1

薇若a?1，则g?(x)?1?1 x 芃当0?x?1时，g?(x)?0,g(x)单调递减； 袃当x?1时，g?(x)?0,g(x)单调递增 莀所以x?1是g(x)的极小值点，故g(x)?g(1)?0 螈综上，a?1

袅（2）由（1）知f(x)?x2?x?xlnx,f?(x)?2x?2?lnx 螆设h(x)?2x?2?lnx，则h?(x)?2?1 x 芀11当x?(0,)时，h?(x)?0；当x?(,??)时，h?(x)?0.

2211所以h(x)在(0,)单调递减，在(,??)单调递增.

22111又h(e?2)?0,h()?0,h(1)?0，所以h(x)在(0,)有唯一零点x0，在[,??)有唯一零点1，

222

螁

羅且当x?(0,x0)时，h(x)?0；当x?(x0,1)时，h(x)?0；当x?(1,??)时，h(x)?0.

袃因为f?(x)?h(x)，所以x?x0是f(x)的唯一极大值点.

羁由f?(x0)?0得lnx0?2(x0?1)，故f(x0)?x0(1?x0).

薀由x0?(0,1)得f(x0)?1. 4 肅因为x?x0是f(x)在(0,1)的最大值点，由e?1?(0,1),f?(e?1)?0得 芃f(x0)?f(e?1)?e?2. 蚃所以e?2?f(x0)?2?2

莈（二）选考题：

膅22.解：

蚄（1）设P的极坐标为(?,?)(??0)，M的极坐标为(?1,?)(?1?0). 由题设知|OP|??,|OM|??1?4 cos?由|OM||OP|?16得C2的极坐标方程??4cos?(??0) 因此C2的直角坐标方程为(x?2)2?y2?4(x?0) （2）设点B的极坐标为(?B,?)(?B?0).

由题设知|OA|?2,?B?4cosa， 于是?OAB面积

?2?3. 当a???12时，S取得最大值2?3

所以?OAB面积的最大值为2?3

23.解：

（1）(a?b)(a5?b5)?a6?ab5?a5b?b6 （2）因为(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

所以(a?b)3?8，因此a?b?2.