4.4万有引力与航天

第4讲 万有引力与航天

知识一 万有引力定律

1．内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．

2．公式

m1m2－

F＝G2，其中G＝6.67×1011 N·m2/kg2，叫引力常量．

r

3．适用条件

两个质点之间的相互作用．

(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为两球心间的距离．

(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为质点到球心间的距离．

(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)

Mm

(2)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G2计算物体间的R

万有引力．(×)

(3)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．(×)

知识二 万有引力定律应用及三种宇宙速度

1．万有引力定律基本应用

(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．

(2)基本公式：

??mrω

MmG＝mg＝ma＝?r2π

mr??T??mvω

2

2r

v2

mr

2

其中gr为距天体中心r处的重力加速度． 2．三种宇宙速度 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇宙这是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，也是人造7.9 速度(环绕卫星的最小发射速度，若7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体速度) 将绕地球运行 第二宇宙速度(逃逸速度) 第三宇宙速度 11.2 16.7 是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，物体将绕太阳运行 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行

(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．

(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度． (3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同．

当一枚火箭受到的重力只有它在地球表面上受到的重力一半时，它飞到了多大高度？

Mm

[提示] 地面上：mg0＝G2. R地

1Mm

飞行处：mg0＝G

2?R地＋h?2解得飞行高度h＝(2－1)R地

知识三 经典时空观和相对论时空观

1．经典时空观

(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．

2．相对论时空观

(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为mm0＝. v21－2c

(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．

3．经典力学有它的适用范围

只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．

(1)经典力学的基础是牛顿运动定律．(√)

(2)牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题．(×) (3)经典力学可以解决自然界中所有的问题．(×)

m1m2

1．关于万有引力公式F＝G2，以下说法中正确的是( )

r

A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的

m1m2【解析】 万有引力公式F＝G，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又

r

将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.

【答案】 C

2．(多选)由于万有引力定律和库仑定律都满足平方反比定律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱

F

的物理量是电场强度，其定义式为E＝，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映各点q

引力场的强弱．设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G，如果一个质量为m的物体位于距离地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( )

MmMmg

A．G2 B．G2 C．G2 D. 4?2R??2R??2R?

MmFGM

【解析】 由万有引力定律知F＝G，A对；在地球表面2，引力场的强弱＝m?2R?2?2R?

MmFg

附近有G2＝mg，所以＝，D对．

Rm4【答案】 AD

3．(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )

A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大

C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

【解析】 设太阳质量为M，月球质量为m，海水质量为m′，太阳到地球距离为r1，

Mr1月球到地球距离为r2，由题意＝2.7×107，＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力

mr2

2

GMm′Gmm′2.7×1072 700F1Mr2F1＝，月球对海水的引力F2＝，则＝2＝＝，故A选项正2r2r2F2mr116?400?21

确，B选项错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C选项错误，D选项正确．

【答案】 AD

4．(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )

A．太阳位于木星运行轨道的中心

B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

【解析】 根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在

相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D错误．

【答案】 C 5．(2013·福建高考)设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )

4π2r34π2r2

A．GM＝2 B．GM＝2 TT224πr4πr3

C．GM＝3 D．GM＝2 TT

【解析】 本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解．

GMm4π24π2r3

对行星有：2＝m2r，故GM＝2，选项A正确．

rTT

【答案】 A

考点一 [32] 天体质量和密度的估算

一、重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

MmgR2

1．由G2＝mg得天体质量M＝. RG

MM3g

2．天体密度ρ＝＝＝. V434πGR

πR3

二、卫星环绕法

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.

Mm4π2r4π2r3

1．由G2＝m2得天体的质量M＝2. rTGT

MM3πr3

2．若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.若卫星绕中心天体表面运

V43GT2R3πR3

3π

行时，轨道半径r＝R，则有ρ＝2. GT

——————[1个示范例]——————

(2013·全国大纲卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面

－

高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×1011 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )

A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg 【解析】 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆

223

GMm4πmr4πr

周运动，由牛顿第二定律知：2＝2，得M＝2，其中r＝R＋h，代入数据解得M

rTGT

＝7.4×1022kg，选项D正确．

【答案】 D

——————[1个预测例]——————

一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在

该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )

mv2mv4Nv2Nv4A. B. C. D. GNGNGmGm

【审题指导】(1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系．