江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第二层次)专题12-圆锥曲线的综合问题

南京市2017届高三二轮专题（第二层次）

专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时) 班级 姓名

一、前测训练

x2y2

1．（1）点A是椭圆＋＝1的左顶点，点F是右焦点，若点P在椭圆上，且位于x轴上方，满足PA⊥

3620PF，则点P的坐标为 ．

x2y2→→（2）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的

43

最大值为 ．

35

答案：(1)(，3)．(2)6．

22x2y2

2．如果椭圆＋＝1的弦被点A(4，－1)平分，则这条弦所在的直线方程是 ．

4010答案：y＝x－5．

x2y2

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标

ab

为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.

41

(1)若点C的坐标为(，)，且BF2＝2，求椭圆的方程；

33y (2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.

B x221C 答案：（1）＋y＝1；（2）e＝．

22二、方法联想

1．椭圆上一个点问题 x F1 O F2 （1）设点的坐标，寻找第二个方程联立方程组，通过解方程组获得解． （2）设点的坐标，利用点在曲线上可以消去一个未知数，从而转化为函A 数问题，消元后要注意曲线上点的坐标的范围．

x2y2

变式：如图，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右

ab

焦点为F，点P在椭圆C上,且OP⊥AF.

求证：存在椭圆C，使直线AF平分线段OP.

答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)

2．直线与椭圆相交于两点问题

方法1 已知直线与椭圆两交点中的一个，直接求出另一个点坐标；

方法2 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y得关于x的方程Ax2＋Bx＋CBC

＝0，由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝，代入已知条件所得式子消去x1，x2(其中y1，y2通过直线方程化

AA为x1，x2)．

注意：(1)设直线方程时要注意直线垂直于x轴情况；

(2)通过△判断交点个数；

(3)根据需要也可消去x得关于y的方程．

结论：弦长公式 AB＝1＋k2｜x1－x2｜＝

11＋2｜y1－y2｜． k

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x12y12

＋＝1，a2b2方法3 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得x2y2通过已知条件建立x1、y1与x2、

22＋＝1，a2b2???

y2的关系，消去x2、y2解关于x1、y1的方程组（或方程）．

方法4 点差法

x12y12

＋＝1，a2b2y1－y2b2x1＋x2

设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得x2y2两式相减得＝－2×，即kAB

ay1＋y2x1－x222＋＝1，a2b2b2x0＝－2×，其中AB中点M为(x0，y0)．

ay0

???

注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．

x2y22变式：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4.过椭

ab2

圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.

1AP

①若直线l的斜率为，求的值；

2AQ

→→

②若PQ＝λAP，求实数λ的取值范围．

5

答案：①；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，

6

求另一点)

三、例题分析

x2y23

例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆

ab2C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切． （1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上． x2y2

答案：（1）椭圆C的方程为＋＝1．

82

（2）略．

N y Q M P

x 〖教学建议〗 O T 一、主要问题归类与方法：

1．椭圆标准方程，椭圆中的离心率及椭圆的短半轴长等椭圆中的基本概念． 2．直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径． 3．两直线的交点．

4．点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程． 二、方法选择与优化建议：

解法一：很自然地设出点M，N的坐标，利用两直线相交求出交点T的坐标，看它是否满足椭圆方程．解法二：可先设出点T的坐标（x，y），利用两条直线方程，把M或N点的坐标表示出来，再代入椭圆方程，得出关于x，y的方程．本题解法二的计算量相对小一点．

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x2y2

例2 如图，A，B是椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，若

ab1

椭圆C的离心率为，且右准线l的方程为x＝4．

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交直线MB于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求出R点的坐标．

x2y2

答案：（1）椭圆C方程为＋＝1．

431

（2）R点的坐标为（－，0）．

2

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．椭圆标准方程，椭圆的右准线方程和离心率．

b2

2．kMAkMB＝－2．

a

3．两点式直线方程，两直线的交点，点斜式直线方程．

4．直径所对的圆周角是直角，互相垂直的两条直线斜率之间的关系． 二、方法选择与优化建议：

解析几何的解题要关注平面几何性质的运用，以简化运算．

3x2y2

例3 如图，圆O与离心率为的椭圆T：2＋2＝1(a＞b＞0)相切于点M(0，1)．

2ab

⑴求椭圆T与圆O的方程;

⑵过点M引两条互相垂直的两直线l1，l2与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合).

22

①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，求d1＋d2的最大值； →→→→②若3MA·MC＝4MB·MD，求l1与l2的方程． x22

解: (1)＋y＝1，x2＋y2＝1．

4

16421(2)①，此时P(±，－)．

333②l1：y＝2x＋1，l2：y＝－或l1：y＝－2x＋1，l2：y＝

2

x＋1 22

x＋1 2

〖教学建议〗

1．主要问题归类与方法：

（1）椭圆的基本量计算．

（2）椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量 2．方法选择与优化建议：

22

（1）问题2中，d1＋d2实际上就是矩形的对角线的平方，即PM2．

1

（2）问题3中，求出A，C点坐标后，直接用－替换k，得到B，D点坐标．

k

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1→→→→或将3MA·MC＝4MB·MD转化为3(k2＋1)xAxC＝4(2＋1)xBxD．

k

四、反馈练习

x2y2

1．过椭＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则弦AB＝________.

5455答案： 3

（考查：直线被椭圆截得的弦长）

2．已知点A(2，0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点

N，则FM∶MN＝ ________. 答案：1∶5

（考查：抛物线定义，直线与抛物线的交点）

x2y2

3．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.

ab4

若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率为________．

55答案：

7

（考查：椭圆离心率，椭圆的定义，解三角形）

x2y2

4．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为

ab坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝________. 答案：2

（考查：双曲线的渐近线，双曲线与抛物线的关系）

3

5．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则双曲线C的方程是 ________.

2x2y2

答案：－＝1

45

（考查：双曲线中的基本量的计算）

y2

6．抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是 ________.

3

2

2

答案：

3 2

（考查内容：双曲线、抛物线中的基本量的计算）

x2y2

7．设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝

ab30°，则椭圆C的离心率为 ________. 答案：

3 3

（考查内容：椭圆离心率，椭圆的定义）