专题一 第2讲 不等式与线性规划

第2讲 不等式与线性规划

考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．

1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法

f?x?①变形?>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；

g?x?

f?x?

②变形?≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

g?x?(3)简单指数不等式的解法 ①当a>1时，af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)； ②当0ag(x)?f(x)

①当a>1时，logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0； ②当0logag(x)?f(x)0，g(x)>0. 2．五个重要不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)． (2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)． a＋b(3)≥ab(a>0，b>0)．

2a＋b2

(4)ab≤()(a，b∈R)．

2(5)

a2＋b2a＋b2ab

≥≥ab≥(a>0，b>0)． 22a＋b

3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划

(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．

(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论

?a>0，?

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是?

?Δ<0.???a<0，

(2)ax＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是?

?Δ<0.?

2

热点一 一元二次不等式的解法

1??

例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为?x|x<－1或x>2?，则f(10x)>0的解集

?

?

为( )

A．{x|x<－1或x>－lg 2} B．{x|－1－lg 2} D．{x|x<－lg 2}

(2)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为( ) A．{x|x>2或x<－2} C．{x|x<0或x>4}

B．{x|－2

思维启迪 (1)利用换元思想，设10x＝t，先解f(t)>0.(2)利用f(x)是偶函数求b，再解f(2－x)>0. 答案 (1)D (2)C

11

解析 (1)由已知条件0<10x<，解得x

22(2)由题意可知f(－x)＝f(x)．

即(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，(2a－b)x＝0恒成立， 故2a－b＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x－2)(x＋2)． 又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a>0. f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4. 故选C.

思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法．

x－1

(1)不等式≤0的解集为( )

2x＋1

1

A．(－，1]

21

B．[－，1]

2

1

C．(－∞，－)∪[1，＋∞)

21

D．(－∞，－]∪[1，＋∞)

2

2

(2)已知p：?x0∈R，mx20＋1≤0，q：?x∈R，x＋mx＋1>0.若p∧q为真命题，则实数m的

取值范围是( ) A．(－∞，－2) C．(－2,0) 答案 (1)A (2)C

1

解析 (1)原不等式等价于(x－1)(2x＋1)<0或x－1＝0，即－

21

所以不等式的解集为(－，1]，选A.

2

(2)p∧q为真命题，等价于p，q均为真命题．命题p为真时，m<0；命题q为真时，Δ＝m2－4<0，解得－2

例2 (1)(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、76 000v平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝2.

v＋18v＋20l①如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；

②如果限定车型，l＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．

xy212

(2)(2013·山东)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最

zxyz大值为( )

9

A．0 B．1 C. D．3

4

思维启迪 (1)把所给l值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是xy

寻找取得最大值时的条件．

z答案 (1)①1 900 ②100 (2)B

76 000v

解析 (1)①当l＝6.05时，F＝2

v＋18v＋121

B．[－2,0) D．[0,2]

＝

76 000

≤

121

v＋v＋18276 00076 000

＝＝1 900. 22＋18121

v·v＋18

当且仅当v＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． 76 000v

②当l＝5时，F＝2＝v＋18v＋100

76 000

≤

100

v＋v＋182

76 00076 000

＝＝2 000. 20＋18100

v·v＋18

当且仅当v＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时．比①中的最大车流量增加100 辆/时．

(2)由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)

xyxy1则＝2≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2， 2＝zx－3xy＋4yx4y

＋－3yx1?2212111

所以＋－＝＋－2＝－??y－1?＋1≤1， xyzyyy212

所以当y＝1时，＋－的最大值为1.

xyz

思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

xy

(1)若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值为________．

34

(2)已知关于x的不等式2x＋35

A．1 B. C．2 D. 22答案 (1)3 (2)B

xymn

解析 (1)因为点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，所以m，n>0，且＋＝1.

3434mn

＋mn342mn13mn1所以·≤()(当且仅当＝＝，即m＝，n＝2时，取等号)．所以·≤，即mn≤3，

3423422344所以mn的最大值为3.

22(2)2x＋＝2(x－a)＋＋2a

x－ax－a2

≥2·2?x－a?·＋2a＝4＋2a，

x－a3

由题意可知4＋2a≥7，得a≥，

23

即实数a的最小值为，故选B.

2

2

≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为( ) x－a