河南专升本高数真题及答案

limun?limn??n??1?0，所以它是收敛的； n?1当x?3时，原级数为的；

?n?0?11，这是一个p??1的p?级数，所以它是发散

2n?1所以，原级数的收敛域为[1, 3)． 四、应用题（每小题6分，共12分）

1x51．求函数f(x)?x在x?0时的最大值，并从数列1，2，33，44，

n，

n，中选出最大的一项（已知2?33）．

11??lnxx??lnx1?lnx??x解：因为 f?(x)??e??xx? ?x??2x?x???令f?(x)?0，解得唯一驻点x?e．

又因为在区间(0, e)内f?(x)?0，f(x)严格单调增加；在区间(e, ??)内而f(x)又在区间(0, ??)连续，所以f(x)在x?ef?(x)?0，f(x)严格单调减少；处取最大值e．

已知2?31e3，由上知33?44?????nn????于是数列的第三项33是此数列

中最大的一项．

52．过点M(3, 0)作曲线y?ln(x?3)的切线，该切线与此曲线及x轴围成一平面图形D．试求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

解：设切线与曲线相切于点M0?x0,ln(x0?3)?（如第52题图所示），

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y 1 M(3, 0) M0 O 4 3?e x y?ln(x?3) 第52题图

由于

y'x?x?10x3 0?则切线方程为 y?ln(x10?3)?x(x?x0) 0?3因为切线经过点M(3, 0)，

所以将x?3, y?0代入上式得切点坐标为M0?e?3, 1? 从而切线方程为

y?1e(x?3)

因此，所求旋转体的体积为

V?13π?12?e?π?3?e4?ln(x?3)?2dx

?πe3?π??x??lnx?2e1?2?e1lnxdx??

??πe3?πe?2π??xlnxe?e??e??1?11dx??2π???1?3??．

五、证明题（8分）

53．证明不等式：

m?nmm?m?lnn?nn，其中n?m为正整数．

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证明：设f(x)?lnx，则f(x)在?n, m?上连续，在(n, m)内可导，故f(x)在区间?a, b?上满足拉格朗日中值定理条件，

于是，至少存在一点??(n, m)，使得

lnm?lnn1m?n??

又因为0?n???m，故

1m?1??1n，从而有 1lnm?lnnm?m?n?1n 所以

m?nmm?m?lnnn?n． 15