2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式章末检测试卷北师大版选修4_5

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章末检测试卷(一) (时间：90分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A．ab＞ac C．cb＜ab 答案 C

解析 因为b可能为0， 当b＝0时，cb等于ab.

2．已知|x－a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}，则实数a等于( ) A．1B．2C．3D．4 答案 C

解析 由|x－a|＜b，得a－b＜x＜a＋b，

??a－b＝2，

由已知得?

?a＋b＝4?

2

2

2

2

2

B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0

??a＝3，

??

?b＝1.?

3．“|x|≤2”是“|x＋1|＜1”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分又不必要条件 答案 B

解析 |x＋1|＜1?－1＜x＋1＜1?－2＜x＜0，故选B.

4．已知a，b，c均为正数，且a＋2b＋3c＝3，则abc的最大值为( ) A．1 1

C. 6答案 C

5．已知函数f(x)＝x＋x，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )

1

3

1B. 21D. 3

A．一定大于0 C．等于0 答案 B

B．一定小于0 D．正负都有可能

6．已知x＞1，y＞1，且lgx＋lgy＝4，则lgxlgy的最大值是( ) 1

A．4B．2C．1D. 4答案 A

解析 ∵x＞1，y＞1，∴lgx＞0，lgy＞0. ∴4＝lgx＋lgy≥2lg xlg y.

∴lgxlgy≤4，当且仅当x＝y时取等号．

7．若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，－4)∪(2，＋∞) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞) C．(－4,2) D．[－4,1] 答案 A

解析 由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3对任意x∈R恒成立，又|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，故|m＋1|＞3，所以m＋1＜－3或m＋1＞3，所以m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．

8．使不等式3＋8＞1＋a成立的正整数a的最大值为( ) A．10B．11C．12D．13 答案 C

解析 用分析法可证a＝12时不等式成立，a＝13时不等式不成立． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

9．设n∈N＋，n＞1，则logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小关系为__________________． 答案 logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)

logn＋1?n＋2??logn＋1?n＋2?＋logn＋1n?2＝ 解析 因为n＞1，所以＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n≤??2logn?n＋1???

?logn＋1?n＋2n??2＜?logn＋1?n＋1??2＝1， ????22????

故logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)． 10．若正数a，b满足a＋b＝1，则2答案 3

＋的最大值是________． a＋1b＋1

22

ab 2

解析

＋＝a＋1b＋1

aba?b＋1?＋b?a＋1?2ab＋13

＝＝2－，

?a＋1??b＋1?ab＋2ab＋2

1

由a＋b＝1≥2ab知，ab≤，

4所以b332＋＝2－≤2－＝， a＋1b＋1ab＋213

＋24

a1

当且仅当a＝b＝时取最大值．

2

12

11．函数f(x)＝3x＋2(x>0)的最小值为________．

x答案 9

123x3x12

解析 f(x)＝3x＋2＝＋＋2≥3

x22x3x12

当且仅当＝2，即x＝2时取等号．

2x12．若n为正整数，则2n＋1与2n＋答案 2n＋1＜2n＋

1

1

1

3

3x3x12

··2＝9， 22xn的大小关系是________．

n?2n＋1?2

解析 要比较2n＋1与2n＋的大小，只需比较(2n＋1)与??的大小，即比

n??n2

1

较4n＋4与4n＋4＋的大小．

n1

因为n为正整数，所以4n＋4＋＞4n＋4.

n所以2n＋1＜2n＋

1

n.

三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分) 13．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋xy＝30，求xy的取值范围． 解 ∵x＞0，y＞0，

∴x＋2y≥22xy＝22·xy， ∴30≥22·xy＋xy，令xy＝t＞0， ∴t＋22t－30≤0， ∴0＜t≤32，∴0＜xy≤18， 即xy的取值范围是(0,18]．

2

3

11

14．若a＞0，b＞0，且＋＝ab.

ab(1)求a＋b的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？说明理由． 112

解 (1)由ab＝＋≥，得ab≥2，

33

abab且当a＝b＝2时等号成立．

故a＋b≥2ab≥42，且当a＝b＝2时等号成立． 所以a＋b的最小值为42.

(2)由(1)知，2a＋3b≥26·ab≥43， 由于43＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6. 15．设a，b，c为三角形的三边，求证：

3

3

3

3

33abc＋＋≥3.

b＋c－aa＋c－ba＋b－c11

证明 设x＝b＋c－a，y＝a＋c－b，z＝a＋b－c，则a＋b＋c＝x＋y＋z，a＝(y＋z)，b＝

221y＋zx＋zx＋y(x＋z)，c＝(x＋y)．此时，原不等式等价于＋＋≥3.

22x2y2z而

y＋z2x＋

x＋z2yzx·＋2 xz＋

x＋y2z＝

12

??y＋x?＋?z＋x?＋?z＋y????xy??xz??yz??????????

≥

1

2

??2 ?

yx·＋2 xyzy?

·?＝3，当且仅当a＝b＝c时“＝”成立． yz?

∴原不等式成立．

16．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.

(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围． 解 (1)由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a， ∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3， ∴a－3＝－2，∴a＝1.

(2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1，令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，

??11

则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2＝?4，－

1?2＋4n，n>.?2

1

2－4n，n≤－，2

∴φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．

4