新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十六导

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11??＝0，得x＝?x＝－舍去?， 22??

?1?a－1<，

2则由已知得?1a＋1>??2，

?3?答案：?1，?

?2?

a－1≥0，

3

解得1≤a<. 2

132

3．(2019·德州质检)已知函数f(x)＝－x＋x在(a,10－a)上有最大值，则实数a的取

3值范围是________．

解析：由f′(x)＝－x＋1，知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在(a,10－a)上存在最大值的条件为

2

2

a<1，??2

?10－a>1，?fa，?f3

113

其中f(1)≥f(a)，即为－＋1≥－a＋a，

33

3

整理得a－3a＋2≥0，即a－1－3a＋3≥0， 即(a－1)(a＋a＋1)－3(a－1)≥0，

即(a－1)(a＋a－2)≥0，即(a－1)(a＋2)≥0，

2

2

2

a<1，??2

即?10－a>1，??a－2a＋

答案：[－2,1)

，

解得－2≤a<1.

(二)素养专练——学会更学通

4.[直观想象]已知函数f(x)是R上的可导函数，f(x)的导函数

f′(x)的图象如图，则下列结论正确的是( )

A．a，c分别是极大值点和极小值点 B．b，c分别是极大值点和极小值点 C．f(x)在区间(a，c)上是增函数 D．f(x)在区间(b，c)上是减函数

解析：选C 由极值点的定义可知，a是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数f(x)在区间(a，＋∞)上是增函数，故选C.

5.[数学建模]如图，在半径为103的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，C，D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱

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形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗)，记圆柱形罐子的体积为V，设AD＝x，则Vmax＝________.

解析：设圆柱形罐子的底面半径为r， 由题意得AB＝2300－x所以r＝，

π

132?300－x2?23

所以V＝πrx＝π??x＝π(－x＋300x)(0

?π?

2

23

2

－x＝2πr，

2

3

＝－(x＋10)(x－10)(0

π

令V′＝0，得x＝10(负值舍去)， 则V′，V随x的变化情况如下表：

x V′ V

(0,10) ＋ 10 0 极大值 (10,103) － 所以当x＝10时，V取得极大值，也是最大值， 2 000

所以Vmax＝.

π2 000答案： π

6．[数学运算]设f(x)＝xln x－ax＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；

(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围． 解：(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a， 可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)． 11－2ax所以g′(x)＝－2a＝.

2

xx当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；

1???1?当a＞0，x∈?0，?时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈?，＋∞?时，g′(x)＜0，

?2a??2a?函数g(x)单调递减．

所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；

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1???1?当a＞0时，g(x)的单调增区间为?0，?，单调减区间为?，＋∞?. ?2a??2a?(2)由(1)知，f′(1)＝0.

①当a≤0时，f′(x)在(0，＋∞)内单调递增， 所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．

1?11?②当0＜a＜时，＞1，由(1)知f′(x)在?0，?内单调递增，可得当x∈(0,1)时，f′(x)

22a?2a?1??＜0，当x∈?1，?时，f′(x)＞0. ?2a?

1??所以f(x)在(0,1)内单调递减，在?1，?内单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，?2a?不合题意．

11

③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈

22a(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．

11?1?④当a＞时，0＜＜1，当x∈?，1?时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)22a?2a?时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．

所以f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．

?1?综上可知，实数a的取值范围为?，＋∞?.

?2?